Matematik

Differentialligninger!!

25. august 2022 af Sugawara - Niveau: A-niveau

Hej, er der en venlig sjæl der kan hjælpe mig med to lignende opgaver om differentialligninger?

Her er opgavebeskrivelsen for henholdsvis den første opgave:

1. "Et legeme, der til tiden t=0 er 65 grader varmt, afkøles i et lokale med temperaturen 24 grader. Efter 10 minutters forløb er legemts temperatur 52 grader. Hvor lang tid vil der gå før legemets temperatur er 38 grader?"

2. "Et opvarmet legeme afkøles i luft, hvis temperatur er 20 grader. Efter 5 minutters forløb er legemets tempatur 200 grader. Efter yderlogere 5 minutters forløb er temperaturen faldet til 160 grader. Hvor varmt var legemet oprindeligt?"

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. august 2022 af mathon

Afkølingen følger Newtons afkølingslov:

$\small \begin{array}{llllll} \frac{\mathrm{d}T }{\mathrm{d} t}=k\cdot \left ( T-T_o \right )& T\textup{ er den variable temperatur}\\& k\textup{ er en positiv konstant}\\&T_o\textup{ er omgivelsernes temperatur}\\&t\textup{ er afk\o lingstiden.} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. august 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{l\o sning:}\\&& T{\, }'-k\cdot t=-k\cdot T_o\qquad \textup{med "panserformlen"}\\\\&& T(t)=e^{k\cdot t}\cdot \int -k\cdot T_o\cdot e^{-k\cdot t}\mathrm{d}t\\\\&& T(t)=e^{k\cdot t}\cdot \left ( \frac{-k\cdot T_o}{-k}\cdot e^{-k\cdot t}+C \right )\\\\\\&& T(t)=C\cdot e^{k\cdot t}+T_o \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. august 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} && T(0)=65=C\cdot e^{k\cdot 0}+24\\\\&& 65=C\cdot 1+24\\\\&& C=41\\ \textup{dvs}\\&& T(t)=41\cdot e^{k\cdot t}+24\\\textup{og}\\&& T(10)=52=41\cdot e^{k\cdot 10}+24\\\\&& e^{10k}=\frac{52-24}{41}=\frac{28}{41}\\\\&& 10k=\ln\left ( \frac{28}{41} \right )\\\\&& k=\frac{\ln\left ( \frac{28}{41} \right )}{10}=-0.038137\\\\\textup{Fuldst\ae ndige l\o sning:}\\&&T(t)=41\cdot e^{-0.038137\cdot t}+24 \end{array}$

Hvor lang tid vil der gå før legemets temperatur er 38 grader?"

$\small \begin{array}{lllllll}&&T(t)=38=41\cdot e^{-0.038137\cdot t}+24\\\\&& \frac{38-24}{41}=\frac{14}{41}=e^{-0.038137\cdot t}\\\\&& \ln\left (\frac{14}{41} \right )=-0.038137\cdot t\\\\&& t=\frac{\ln\left (\frac{14}{41} \right )}{-0.038137}=28.2\quad\left ( \mathrm{min.} \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. august 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textbf{2.}\\&\textup{TI-\textbf{\textit{n}}spire}\\&& \textup{Define }T(t)=C\cdot e^{k\cdot t}+20\\\\&& \textup{solve }\left (\left\{\begin{array}{ll} 200=T(5)\\&,\left \{ C,k \right \} \\160=T(10) \end{array}\right. \right)\qquad \textup{ display }C=231.429\qquad k=-0.050263\\\\&& \textup{Define }C=231.429\\&& \textup{Define }k=-0.050263\\\\\\&&\textup{Legemets begyndelsestemperatur:}\qquad T(0) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. august 2022 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{llllll} \textbf{2.}\\&\textup{TI-\textbf{\textit{n}}spire}\\&& \textup{Define }f(t)=C\cdot e^{k\cdot t}+20\\\\&& \textup{solve }\left (\left\{\begin{array}{ll} 200=f(5)\\&,\left \{ C,k \right \} \\160=f10) \end{array}\right. \right)\qquad \textup{ display }C=231.429\qquad k=-0.050263\\\\&& \textup{Define }C=231.429\\&& \textup{Define }k=-0.050263\\\\\\&&\textup{Legemets begyndelsestemperatur:}\qquad f(0) \end{array}$

$\small \textup{da }T(t)\textup{ ikke fungerer.}$

Skriv et svar til: Differentialligninger!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.