Matematik

Tangenter og Sekanter

17. oktober 2022 af Sigurdsen - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg vil bare spørge jer om det er muligt, og får hjælp til hvordan jeg kan opstille en hypotese på baggrund af eksperimenterne jeg har lavet i opgave a,b og c. Jeg har lavet disse opgaver, men ved ikke hvordan jeg kan opstille en hypotese på baggrund af disse eksperimenter?

Det er opgave e)

Er der nogen der kan hjælpe derude?

Svar #1
17. oktober 2022 af Sigurdsen

Her er mat pdf

Vedhæftet fil:Mat 11 Projektbeskrivelse.pdf

Svar #2
17. oktober 2022 af Sigurdsen

Dette er min besvarelse

Svar #3
17. oktober 2022 af Sigurdsen

Min midlertidig besvarelse

Vedhæftet fil:Projekt parabeltangent - Ikke færdig produkt.pdf

Svar #4
17. oktober 2022 af Sigurdsen

Spørgsmålet hænger sammen med eksperiment 1 om Tangenter og Sekanter

Svar #5
17. oktober 2022 af Sigurdsen

UNDSKYLD mente opgave d i mit første spørgmsål og ikke spørgsmål e)

Svar #6
17. oktober 2022 af Sigurdsen

Har en tanke om at når h går mod nul vil ens sekanthældning, altså kom tættere på ens tangenthældning, idet man kan anvende to punktsformlen i sekanthældningen, fordi der er to punkter. Men er ikke sikker på om det hænger sammen med de eksperimenter jeg har lavet i opgave a, b og c. I de opgaver har jeg nemlig tegnet en parabel, med forskellige x-værdier som er indtegnet i grafer som tangenter og sekanter

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. oktober 2022 af ringstedLC

#6: Dine eksperimenter ser rigtige ud.

I fx b):

$\begin{align*} h &= 9-(-1)=10 \end{align*}$

Prøv nu at gøre h mindre:

$\begin{align*} h &= (9-1)-(-1+1)=8 \\ h &= (9-2)-(-1+2)=6 \\ ..&......................................... \\ h &= (9-4.99...)-(-1+4.99...)=0.00... \\ \Rightarrow &\;\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2\,h} \approx \frac{f(x_0)-f(x_0)}{2\cdot 0.00...} =0 \end{align*}$

Se iøvrigt https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/differenskvotient-og-differentialkvotient

Svar #8
18. oktober 2022 af Sigurdsen

Er det muligt, at får forklaret hvad du gøre i dine beregninger. Altså er det en måde du har opstillet en hypotese på. Idet jeg kan se at du bruger x-værdierne fra sekanten for at finde h, men forstår ikke helt princippet. Er ikke sikker, men er det ikke noget med, at jeg skal opstille en hypotese, hvorpå sekanten kommer tættere på tangenten. Har det en sammenhæng til parablen?

Svar #9
23. oktober 2022 af Sigurdsen

Var der nogle der kunne hjælpe mig med at forstå hypotesen??

Svar #10
23. oktober 2022 af Sigurdsen

Det er nemlig fordi jeg skal lave en hypotese på baggrund af alle tre dele opgaver altså a), b) og c)

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. oktober 2022 af ringstedLC

$\begin{align*} \textup{Parabel: }y &= a\,x^2+b\,x+c \\ \textup{Tangent\,i\,}\bigl(x_0,f(x_0)\bigr):y &= \underset{a_\textup{tangent}}{\underbrace{\left (2\,a\,x_0+b\right )}} \cdot x+\underset{b_\textup{tangent}}{\underbrace{\left (-a\,{x_0}^2+c\right )}} \\y &= a\,x+b \\ \textup{Sekant\,gennem\,} &\Bigl\{\bigl(x_1,f(x_1)\bigr);\bigl(x_2,f(x_2)\bigr)\Bigr\} \\ y &= a\,x+b\;,\;b=-a\,x_1+f(x_1) \\ y &= a\,x-a\,x_1+f(x_1) \\&= a\cdot (x-x_1)+f(x_1) \\ y &=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1)+f(x_1) \end{align*}$

Bemærk: Ligningen i sidste linje i "Projektbeskrivelse, Eksperiment 1 - Sekanter og tangenter" er forkert, mens nSpire løsningen er rigtig.

$\begin{align*} \textup{Sekant\,gennem\,} &\Bigl\{\bigl(x_0-h,f(x_0-h)\bigr);\bigl(x_0+h,f(x_0+h)\bigr)\Bigr\} \\ y_{s_0} &= \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{(x_0+h)-(x_0-h)}\cdot \bigl(x-(x_0-h)\bigr)+f(x_0-h) \\ &= \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h\cdot \left(\frac{x_0}{h}+1\right)-h\cdot \left(\frac{x_0}{h}-1\right)}\cdot \bigl(x-(x_0-h)\bigr)+f(x_0-h) \\ &= \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h\cdot \left(\frac{x_0}{h}+1\right)+h\cdot \left(-\frac{x_0}{h}+1\right)}\cdot \bigl(x-(x_0-h)\bigr)+f(x_0-h) \\ &= \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h\cdot \left(\frac{x_0}{h}+1-\frac{x_0}{h}+1\right)}\cdot \bigl(x-(x_0-h)\bigr)+f(x_0-h) \\ y_{s_0} &= \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}\cdot \bigl(x-(x_0-h)\bigr)+f(x_0-h) \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. oktober 2022 af ringstedLC

$\begin{align*} \textup{Parabel: }y=f_1(x) &= x^2-7\,x+4 \\ \textup{Tangent\,i\,}\bigl({\color{Red} 3},f_1(3)\bigr): y_t &= \left (2\cdot 3-7\right ) \cdot x-3^2+4 \\y_t &= -x-5 \\ \textup{Sekant\,gennem\,} & \Bigl\{\bigl({\color{Red} 3}-{\color{DarkBlue} 2},f_1(1)\bigr);\bigl({\color{Red} 3}+{\color{DarkBlue} 2},f_1(5)\bigr)\Bigr\} \\ y_{s_1} &= \frac{-6-(-2)}{(3+2)-(3-2)}\cdot \bigl(x-(3-2)\bigr)-2 \\ y_{s_1} &= -x-1\\a_t &= a_{s_1}\Rightarrow y_t\parallel y_{s_1} \\ \end{align*}$

$\begin{align*} \textup{Sekant\,gennem\,} & \Bigl\{\bigl({\color{Red} 3}-{\color{DarkBlue} 1},f_1(2)\bigr);\bigl({\color{Red} 3}+{\color{DarkBlue} 1},f_1(4)\bigr)\Bigr\} \\y_{s_2} &= \frac{-8-(-6)}{(3+1)-(3-1)}\cdot \bigl(x-(3-1)\bigr)-6 \\ y_{s_2} &= -x-4\\a_t &= a_{s_1}=a_{s_2}\Rightarrow y_t\parallel y_{s_1}\parallel y_{s_2}\end{align*}$

Svar #13
24. oktober 2022 af Sigurdsen

Det sidste eksempel du har lavet er det et eksempel på hypotesen, hvor du altså har brugt mine resultater til at fremstille en måde man kan beskrive hypotesen på ved brug af tal og hvor de første to beskrivelser vil være min generelle hypotese?

Hvad mener du forresten med at ligningen i sidste linje er forkert i eksperiment 1, da jeg ikke kan se nogen ligning?

Svar #14
24. oktober 2022 af Sigurdsen

Jeg bemærker også, at min sekant er parallel med tangenten.

Svar #15
24. oktober 2022 af Sigurdsen

Er det muligt at du kunne forklare sådan hvad du gør ved beregningerne

Svar #16
24. oktober 2022 af Sigurdsen

Jeg ved ik om det er rigtigt, men føler lidt at du også har bevist hypotesen.

Brugbart svar (0)

Svar #17
24. oktober 2022 af ringstedLC

#13 Nej. Jeg beregner blot endnu en sekants ligning vha. den generelle formel i #11.

Den valgte værdi af h er her mindre end i dine sekanteksempler. Prøv selv at gøre h endnu mindre og indse, at ved at gøre h uendelig lille, dog ikke "0", fås den samme ligning som ligningen for tangenten.

Det gøres nemmest ved at bruge den generelle formel i #11 og lade h være en skyder som så kan ændre/forskyde sekanten i forhold til tangenten..

Bemærk: Tangentens ligning kan ikke bestemmes vha. to-punktsformlen, da der kun er ét røringspunkt.

Svar #18
24. oktober 2022 af Sigurdsen

Når man gøre h mindre kommer man så frem til det du i #6 altså den formel. Kan jeg så bruge det som min hypotese, idet jeg ikke ved hvordan jeg skal fremstille det. Er h min sekant forresten?

Svar #19
25. oktober 2022 af Sigurdsen

Jeg forstår godt selve hypotesen nu, men hvordan vil jeg kunne forkorte eksperiment 1 e) uden cas. Er det muligt at få noget hjælp til den?

Skriv et svar til: Tangenter og Sekanter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.