Matematik

hjælp (mat)

03. december 2022 af isabella413 - Niveau: A-niveau

Jeg har en spørgsmål som siger: Bevis formlen for differentiation af et produkt af to funktioner af én variabel. Gør rede for, hvad man forstår ved en funktion af to variable, og for hvordan man ved brug af differentialregning kan undersøge grafens forløb. Begreberne gradient og stationære punkter skal indgå.

det ville være fedt hvis nogen kunne hjælpe mig:)

mange tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. december 2022 af StoreNord

https://www.google.com/search?channel=fs&client=ubuntu&q=Bevis+formlen+for+differentiation+af+et+produkt+af+to+funktioner+af+%C3%A9n+variabel#fpstate=ive&vld=cid:4729c717,vid:Z7jKMwFp4jc

Brugbart svar (1)

Svar #2
04. december 2022 af mathon

Bevis formlen for differentiation af et produkt af to funktioner af én variabel.

Her benyttes tre-trins-reglen
samt
$\small a\cdot b=\underset{\small \begin{array}{ll}\textup{som skal}\\\textup{bruges}\end{array}}{\underbrace{\left ( a-c \right )}}\cdot b+c\cdot b$

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. december 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{1. trin}\\& f(x_o+h)\cdot g(x_o+h)-f(x_o)\cdot g(x_o)=\\\\& \left ( f(x_o+h)-f(x_o) \right )\cdot g(x_o+h)+f(x_o)\cdot g(x_o+h)-f(x_o)\cdot g(x_o)=\\\\& \left ( f(x_o+h)-f(x_o) \right )\cdot g(x_o+h)+f(x_o)\cdot \left ( g(x_o+h)-g(x_o) \right )\\\\\textbf{2. trin}\\& \frac{\left ( f(x_o+h)-f(x_o) \right )\cdot g(x_o+h)+f(x_o)\cdot \left ( g(x_o+h)-g(x_o) \right )}{h}=\\\\& \frac{\left ( f(x_o+h)-f(x_o) \right )\cdot g(x_o+h)}{h}+\frac{f(x_o)\cdot \left ( g(x_o+h)-g(x_o) \right )}{h}=\\\\& \frac{ f(x_o+h)-f(x_o) }{h}\cdot g\left ( x_o+h \right )+f(x_o)\cdot \frac{g(x_o+h)-g(x_o) }{h}\\\\\textbf{3. trin}\\&\underset{h \to 0}{\lim}\left (\frac{ f(x_o+h)-f(x_o) }{h}\cdot g\left ( x_o+h \right )+f(x_o)\cdot \frac{g(x_o+h)-g(x_o) }{h} \right )=\\\\& f{\, }'(x_o)\cdot g(x_o)+f(x_o)\cdot g{\, }'(x_o) \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
04. december 2022 af mathon

For funktionen
$\small z=f(x,y)$
defineres for konstant y
$\small z=f(x,y_o)$ den afledede mht $\small x=x_o$
som
$\small \frac{\partial f}{\partial x}(x_o,y_o)=\underset{\textup{i }x=x_o}{\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\left (f(x,y_o) \right )}=\underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x_o+h,y_0)-f(x_o,y_o))}{h}$
som vi vil notere
$\small f_x{}'(x,y_o)$
og tilsvarende
$\small f_y{}'(x_o,y)$

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. december 2022 af mathon

Hvordan man ved brug af differentialregning kan undersøge grafens forløb.

Det kan udledes:

Hvis $\small f$ og dens første og anden ordens delafledede er kontinuerte i en åben skive indeholdende (a,b)
og hvis $\small f_x{\, }'(a,b)=f_y{\, }'(a,b)=0$
så
$\small \begin{array}{llllll} I)&f_{xx}{}''<0 \textup{ og }f_{xx}{}''\cdot f_{yy}{}''-{f_{x,y}{}''}^2>0\textup{ i }\left ( a,b \right )&\Rightarrow &\textup{lokalt maksimum}\\\\II)& f_{xx}{}''>0 \textup{ og }f_{xx}{}''\cdot f_{yy}{}''-{f_{x,y}{}''}^2>0\textup{ i }\left ( a,b \right )& \Rightarrow &\textup{lokalt minimum}\\\\ III)&f_{xx}{}''\cdot f_{yy}{}''-{f_{x,y}{}''}^2<0\textup{ i }\left ( a,b \right )& \Rightarrow &\textup{saddelpunkt}\\\\ IV)&f_{xx}{}''\cdot f_{yy}{}''-{f_{x,y}{}''}^2=0\textup{ i }\left ( a,b \right )&\Rightarrow &\textup{\textbf{ingen} konklusion} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
04. december 2022 af mathon

Hvis $\small f_x{\, }'(a,b)=f_y{\, }'(a,b)=0$ kaldes $\small \left ( a,b \right )$ et stationært punkt.

Definition af gradient:
   Hvis de delafledede af $\small f(x,y)$ er defineret i $\small P_o(x_o,y_o)$
   så er gradienten af $\small f$ i $\small P_o$
vektoren:
      $\small \nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \overrightarrow{\textbf{i}}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \overrightarrow{\textbf{j}}$

Svar #7
04. december 2022 af isabella413

1000 tak mathon som altid, glædelig 2. advent:)

Skriv et svar til: hjælp (mat)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.