Find koordinatsættet til C - analytisk plangeometri

#0. Indsætter billede

Midtpunktet mellem A og B er (1,5). Til dette punkt skal du lægge en vektor i retning af B som er parallel med vektoren AB og som har længden (1m)·AB/|AB|. Derved får du D. Tilsvarende findes C ved at trække samme vektor fra midtpunktet.

Vi kan starte med at finde ligningen for linjen, der går gennem A og B ved hjælp af punkternes koordinater og den generelle ligning for en ret linje:

y - y1 = m(x - x1), hvor m er hældningskoefficienten og (x1, y1) er en given punkt på linjen.

Vi har: x1 = 0, y1 = 0 (punkt A) x2 = 2, y2 = 10 (punkt B)

Hældningskoefficienten m kan findes som:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (10 - 0) / (2 - 0) = 5

Så ligningen for linjen gennem A og B er:

y - 0 = 5(x - 0) y = 5x

Nu ved vi, at punkt C skal ligge på denne linje og have en x-koordinat på midten af hegnet, dvs. x = 1. Længden af lågen er 2 meter, så vi placerer C 1 meter til venstre for midten og D 1 meter til højre for midten. Derfor har D også x-koordinaten 1.

Så x-koordinaten for punkt C og D er begge 1. For at finde y-koordinaterne kan vi indsætte x = 1 i ligningen for linjen:

y = 5 * 1 = 5

Så koordinatsættet for punkt C er (1, 5).

Vi kan løse dette ved hjælp af vektorer. Vi starter med at finde vektoren fra A til B:

AB = B - A = (2, 10) - (0, 0) = (2, 10)

Vi kan normalisere denne vektor for at få en enhedsvektor i samme retning:

u = AB / ||AB|| = (2, 10) / sqrt(2^2 + 10^2) = (2/sqrt(104), 10/sqrt(104))

Nu kan vi finde midtpunktet mellem A og B, som er det sted, hvor lågen skal placeres:

M = (A + B) / 2 = (0, 0) + (2, 10) / 2 = (1, 5)

For at finde C og D kan vi tage en vektor v, der er vinkelret på u og har længden 1 meter (halvdelen af lågens bredde). Vi kan bruge krydsproduktet mellem u og en vilkårlig vektor i planen for at få en normalvektor til planen, der indeholder C og D. Derefter kan vi bruge dette med normalvektoren til at finde C og D.

Vi kan fx vælge vektoren (10, -2), som er vinkelret på u. Krydsproduktet mellem u og v giver normalvektoren til planen:

n = u x v = (2/sqrt(104), 10/sqrt(104)) x (10, -2) = (5/sqrt(104), 20/sqrt(104), -20/sqrt(104))

Normalvektoren er en enhedsvektor, så dens længde er 1. Vi kan bruge den til at finde ligningen for planen ved hjælp af normalformen:

n · (P - M) = 0

Her er P et vilkårligt punkt i planen. Vi kan bruge dette til at finde C og D ved at sætte x-koordinaten til 1 og løse for y- og z-koordinaterne:

n · (C - M) = 0 n · (D - M) = 0 C = (1, 5 - (5/sqrt(104)), 5 + (20/sqrt(104))) ≈ (1, 4.62, 5.78) D = (1, 5 + (5/sqrt(104)), 5 - (20/sqrt(104))) ≈ (1, 5.38, 4.22)

Så koordinatsættene for C og D er henholdsvis (1, 4.62, 5.78) og (1, 5.38, 4.22).

#0. Man skal finde vektoren AC. Man har: