Matematik

Integralregning

16. august 2023 af betibet - Niveau: A-niveau

Hej.

Hvilken stamfunktion skal bruges til denne integral - se det vedhæftede billede.

Hvis ingen stamfunktion findes til den, hvordan skal den så løses? Synes 3/4 opløftet gør det forvirrende for mig.

Tak på forhånd.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2023-08-16 kl. 18.11.45.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. august 2023 af mathon

Svar #2
16. august 2023 af betibet

Yes. Den vedhæftede opgave.

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. august 2023 af mathon

$\begin{array}{llllll} \int x^n\;\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+k\\\\\\ \int_{0}^{1}x^{\frac{3}{4}}\:\mathrm{d}x=\left [ \frac{1}{\frac{3}{4}+1}\cdot x^{\frac{3}{4}+1} \right ]_0^1=\left [ \frac{1}{\frac{3+4}{4}}\cdot x^{\frac{3+4}{4}} \right ]_0^1=\left [ \frac{4}{7}\cdot x^{\frac{7}{4}} \right ]_0^1=\\\\ \frac{4}{7 }\cdot\left [ x^{\frac{7}{4}} \right ]_0^1=\frac{4}{7 }\cdot\left ( 1^{\frac{7}{4}}-0^{\frac{7}{4}} \right )=\frac{4}{7 }\cdot 1=\frac{4}{7} \end{array}$

Svar #4
16. august 2023 af betibet

hvorfor siger du 1/(3+4/4)?

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. august 2023 af Anders521

#4 Du har i nævneren at

$\small \frac{3}{4}+1=\frac{3}{4}+\frac{4}{4}=\frac{3+4}{4}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. august 2023 af ringstedLC

#4: Du mangler en parentes:

$\begin{align*} 1/(3+4/4) &= \frac{1}{3+\frac{4}{4}} \\ 1/\bigl((3+4)/4\bigr) &= \frac{1}{\frac{3\,+\,4}{4}} \end{align*}$

Svar #7
16. august 2023 af betibet

Hej igen.

Har brug for at få bekræftet om det her er rigtig beregnet, da integraler virkelig ikke er min stærke side. Sådan som slet ikke.

Svar #8
16. august 2023 af betibet

Opgaven:

Svar #9
16. august 2023 af betibet

Vedhæftet fil:IMG_5789.jpeg

Brugbart svar (0)

Svar #10
16. august 2023 af StoreNord

Integralet af $8x^{3}$ er "noget med" $x^{4}$ .

Brugbart svar (0)

Svar #11
16. august 2023 af MentorMath

Hej,

8 er en konstant, der er ganget på funktionen x³. Når vi integrerer et udtryk, der består af en konstant ganget på en funktion, sættes konstanten udenfor integraltegnet (se billag). Når konstanter er sat udenfor integraltegnet, kan du integrere ved at bruge "reglen" i #3. I stedet kan du også, hvis du synes bedre om det, tænke som i #10, hvor du tænker det modsatte af, hvordan du ville differentiere.

I det du har skrevet op i #9, mangler du til sidst når du har fundet stamfunktionen, at indsætte grænserne ved at bruge Integralregningens hovedsætning.

NB: Du har glemt et "dx", i udtrykket, hvor du har skrevet "stamfunktion" :)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-08-16 232937.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #12
16. august 2023 af ringstedLC

#7: Det er den ikke. Du skal bruge formlen:

$\begin{align*} \int\!k\cdot f(x)\,\mathrm{d}x &= k\cdot\! \int\!f(x)\,\mathrm{d}x &&\textup{formel (158)} \\ \int\!{\color{Red} 8}\cdot f(x)\,\mathrm{d}x &= {\color{Red} 8}\cdot\! \int\!f(x)\,\mathrm{d}x\;,\;f(x)=x^{3} \end{align*}$

En konstant faktor kan sættes udenfor integraltegnet (som ved differentiering).

Og formlen:

$\begin{align*} \int\!x^{\,a} &= \frac{1}{a+1}\,x^{\,a+1} &&\textup{formel (153)} \\ \int\!x^{{\color{Red} 3}} &= \frac{1}{{\color{Red} 3}+1}\,x^{\,{\color{Red} 3}\,+\,1} \\ \textup{Kombineret}:\\ \int\!k\cdot x^{\,a}\,\mathrm{d}x &= k\cdot \frac{1}{a+1}\,x^{\,a\,+\,1} \\ \int\!8x^{3}\,\mathrm{d}x &= 8\cdot \frac{1}{3+1}\,x^{\,3\,+\,1}=2x^{4} \\ \textup{Pr\o ve\,(ved diff.\;af resultatet)}:\\ \left (k\cdot \frac{1}{a+1}\,x^{\,a\,+\,1} \right )' &= k\cdot \frac{a+1}{a+1}\,x^{\,a\,+\,1\,-\,1} \\&=k\cdot x^{\,a}=\textup{integranden} \\ \left (8\cdot \frac{1}{3+1}\,x^{\,3\,+\,1} \right )' &= 8\cdot \frac{3+1}{3+1}\,x^{\,3\,+\,1\,-\,1} \\&=8x^{3} \end{align*}$

Prøven er det sikre værktøj til kontrollere din stamfunktion.

Når du har integreret det bestemte integrale til [...], altså dannet stamfunktionen, så bruges:

$\begin{align*}\int_a^b\!f(x)\,\mathrm{d}x=\bigl[ F(x) \bigr]_a^b &= F(b)-F(a) &&\textup{formel (163)} \\ \int_0^1\!8x^3\,\mathrm{d}x=\left [ 2x^4+e^x \right ]_0^{{\color{Red} 1}} &= 2\cdot {\color{Red} 1}^4+e^{{\color{Red} 1}}-\bigl(2\cdot 0^4+e^0\bigr)=... \end{align*}$

Husk: Det ubest. integrale er en funktion, mens det bestemte int. er en værdi.

NB. Ny opgave, - ny tråd!

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. august 2023 af ringstedLC

ad #12: For overskuelighedens skyld har jeg undladt at tilføje int.-konstanten ved de ubest. integraler. Den kan helt udelades ved best. integraler.

Brugbart svar (0)

Svar #14
17. august 2023 af Anders521

#12 Linje 3 for neden bør rettes. Integranden mangler leddet e^x.

Brugbart svar (0)

Svar #15
17. august 2023 af ringstedLC

#12 ups!

$\begin{align*} \int_0^1\!\bigl(8x^3\,{\color{Red} +\,e^x}\bigr)\mathrm{d}x &= \left [ 2x^4+e^x \right ]_0^1 \end{align*}$

Skriv et svar til: Integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.