Matematik

Andengradspolynomier

19. september 2023 af hejhej0613 - Niveau: B-niveau

er der en der kan hjælpe mig med at løse opgaven, og generelt at forstå den, thank uu

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2023-09-19 kl. 16.16.09.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. september 2023 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. september 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}\textbf{a)}\\&& y=a\left ( x-r_1 \right )\left(x-r_2\right)\qquad\textup{faktoriseret andengradspolynomium}\\\\&& y=a\left ( x-1 \right )\left(x-\left (-3 \right )\right)\\\\&& y=a\left ( x-1 \right )\left(x+3 \right)\\\\&\textup{gennem (0,6)}\textup{:}\\\\&& 6=a\left ( 0-1 \right )\left(0+3 \right)\\\\&& 6=a\cdot (-1)\cdot 3\\\\&& 6=-3a\\\\&& a=-2\\\\&\textup{Forskrift:}\\&& f(x)=-2\left ( x-1 \right )\left(x+3 \right)\\\\&& f(x)=-2\cdot \left ( x^2+3x-x-3 \right )=-2\left ( x^2+2x-3 \right )\\\\\\&& f(x)=-2x^2-4x+6 \end{array}$

Svar #3
19. september 2023 af hejhej0613

Mange tak!!, mennnn kan du måske forklarer for hvert trin, har lidt svært ved at forstå hvad du har gjort for at finde forskriften ^_^

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. september 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}&& a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\\\\&& a-b=9a+3b\\\\&& 8a+4b=0\\\\&& 2a+b=0\\\\&& \textbf{{\color{Red} b}}=-2a\\\\&\textup{hvoraf:}\\&&y=ax^2-2ax+c\\\\&\textup{gennem }(1,-1)\textup{:}\\&&-1=a\cdot (-1)^2-2a\cdot 1+c\\\\&& -1=a-2a+c\\\\&& -1=-a+c\\\\&& \textbf{{\color{Red} c}}=a-1\\&\textup{dvs}\\&& y=ax^2-2ax+a-1\\\\&\textup{gennem }(-1,2)\textup{:}\\&& 2=a\cdot 1+2a+a-1\\\\&& 2=4a-1\\\\&& \textbf{{\color{Red} a}}=\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4}\\\\&\textup{og dermed:}\\\\&&f(x)=y=\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{4} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. september 2023 af ringstedLC

Opdatér din profil med korrekt uddannelse.

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. september 2023 af ringstedLC

#3: Du har rødderne i a). Derfor anvendes:

$\begin{align*} p(x) &= a\cdot \bigl(x-x_1\bigr)\cdot \bigl(x-x_2\bigr) && \textup{formel (82)} \\ f(x) &= a\cdot \bigl(x-1\bigr)\cdot \bigl(x+3\bigr) &&x_1=r_1=1\;,\,x_2=r_2=-3 \end{align*}$

og ét punkt som indsættes for at bestemme a:

$\begin{align*} f(0)=6 &= a\cdot \bigl(0-1\bigr)\cdot \bigl(0+3\bigr) &&\Rightarrow a=-2 \\ f(x) &= -2\cdot \bigl(x-1\bigr)\cdot \bigl(x+3\bigr) \end{align*}$

Formel (82) benytter, med oplysningen om rødderne, haves to punkter:

$\begin{align*} \bigl(r_1, f(r_1)\bigr)\;,\;\bigl(r_2, f(r_2)\bigr) \end{align*}$

da røddernes funktionsværdi er kendt som "0", - af de tre, der minimum skal bruges for at danne forskriften. Med dem og det tredje punkt:

$\begin{align*} \bigl(r_1, 0\bigr)\;,\;\bigl(r_2, 0\bigr)\;,\;\bigl(x_1,y_1\bigr) \end{align*}$

kan forskriften bestemmes.

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. september 2023 af ringstedLC

b) med vinket i opgaveteksten:

Når to punkter har samme y-koordinat ligger de symmetrisk omkring en akse gennem toppunktet:

$\begin{align*} \bigl(-1,{\color{Red} 2}\bigr) &\;\;,\;\;\bigl(3,{\color{Red} 2}\bigr) \\ y &= a\cdot \bigl(x-h)^2+k &&\textup{formel (76)} \\ &= a\cdot \bigl(x-x_T)^{2}+y_T \\ f(x) &= a\cdot \biggl(x-\frac{-1+3}{2}\biggr)^2\!+y_T \\ &= a\cdot \bigl(x-1\bigr)^2+y_T &&\Rightarrow \bigl(x_T,y_T\bigr)=\bigl({\color{Red} 1},-1\bigr) \\ f(x) &= a\cdot \bigl(x-1\bigr)^2-1 \end{align*}$

Et af de to punkter, der ikke er toppunktet, indsættes for at bestemme a:

$\begin{align*} f (3)=2 &= a\cdot \bigl(3-1\bigr)^2-1 \\ 3 &= a\cdot 4 &&\Rightarrow a=\tfrac{3}{4} \\ f(x) &= \tfrac{3}{4}\cdot \bigl(x-1\bigr)^2-1 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. september 2023 af mathon

kontrolberegning:
$\small \small \begin{array}{lllllll} \textup{solve}\left ( \left\{\begin{matrix} 2&=&a\cdot \left ( -1 ^2\right )+b\cdot (-1)+c\\ 2&=&a\cdot 3 ^2+b\cdot 3+c\qquad \qquad ,&\left \{ a,b,c \right \} \\ -1&=&a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \end{matrix} \right. \right ) \end{array}$

Skriv et svar til: Andengradspolynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.