Matematik

Koordinatsættet til skæringspunktet

24. september 2023 af Adl9 - Niveau: A-niveau

Har fuldstændig glemt hvordan det her gøres mellem parameterfremstillinger, fordi vi har for det meste lavet det med en parameterfremstilling og linjes ligning.

Vedhæftet fil: billede_2023-09-24_010638102.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. september 2023 af SuneChr

Løs de to ligninger
4 + 3t = 2 + 2s
3 + 2t = 6 - 3s
Sæt derefter enten t ind i $l$ eller s ind i $m$ Det skal give det samme.

Brugbart svar (1)

Svar #2
24. september 2023 af ringstedLC

#0: En parameterfremstilling kan omskrives til en ligning:

$\begin{align*} \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot \binom{r_1}{r_2} \\ 0 &= -r_2\cdot \bigl(x-x_0\bigr)+r_1\cdot \bigl(y-y_0\bigr) \end{align*}$

og omvendt:

$\begin{align*} 0 &= a\cdot \bigl(x-x_0\bigr)+b\cdot \bigl(y-y_0\bigr) \\ &= a\,x-a\,x_0+b\,y-b\,y_0 \\ &= a\,x+b\,y+\bigl(-a\,x_0-b\,y_0\bigr) \\ 0 &= a\,x+b\,y+c &&,\;c=\bigl(-a\,x_0-b\,y_0\bigr) \\ \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot \binom{b}{-a}\;,\;t\in \mathbb{R} \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. september 2023 af mathon

eller ved elimination af parametrene:

$\begin{array}{llllllll} l\textup{:}\\&& I\textup{:}\quad x-4&=&3t &I\textup{:}\quad \textup{multipliceres med 2}\\&& II\textup{:}\! \! \! \quad y-3&=&2t&II\textup{:}\! \! \! \! \quad \textup{ multipliceres med 3}\\\\\\&& I\textup{:}\quad 2x-8&=&6t\\&& II\textup{:}\quad \! \! \! 3y-9&=&6t&\textup{II subtraheres fra I}\\\\&& 2x-3y+1=0\\\\&& {\color{Red} 2x-3y=-1}\\\\\\\\ m\textup{:}\\&& I\textup{:}\quad x-2&=&2s &I\textup{:}\quad \textup{multipliceres med 3}\\&& II\textup{:}\! \! \! \quad y-6&=&\! \! \! \! -3s&II\textup{:}\! \! \! \! \quad \textup{ multipliceres med 2}\\\\\\&& I\textup{:}\quad 3x-6&=&6s\\&& II\textup{:}\quad \! \! \! 2y-12&=&\! \! \! \! \! -6s&\textup{I og II adderes}\\\\&& 3x+2y-18=0\\\\&& {\color{Blue} 3x+2y=18} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
24. september 2023 af mathon

Men det er vigtig basisviden
at:
En ligning for en ret linje altid kan omskrives til en parameterfremstilling for linjen
og omvendt.

som vist og gennemforklaret i #2.

Brugbart svar (1)

Svar #5
24. september 2023 af mathon

...måske med tilføjelsen:
$\small -\widehat{\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} b\\-a \end{pmatrix}$

Skriv et svar til: Koordinatsættet til skæringspunktet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.