Matematik

Stamfunktion med tangent

03. november 2023 af vbnmgfh - Niveau: A-niveau

Jeg vil gerne høre hvordan den generelle framgangsmåde til den her type opgaver er:

"bestem en stamfunktion til f(x)=2x+5 hvis graf har linjen y=1 som tangent".

eller fx

"bestem en stamfunktion til f(x)=8-3x hvis graf har linjen y=2x+1 som tangent"

Altså er det noget med at man altid selvfølgelig finder stamfunktionen og husker k og derefter sætter man stamfunktionen lig med 0 og isolerer for x. Så sætter man x ind i tangentligningen? Eller hvordan?

Brugbart svar (1)

Svar #1
03. november 2023 af oppenede

At stamfunktionen F(x)+k har y=2x+1 som tangent vil sige at der er en x-værdi hvor både værdierne og hældningerne er ens, dvs. du har 2 ligninger:
y'(x) = f(x)
y(x) = F(x) + k
hvor x og k er ubekendte

Brugbart svar (1)

Svar #2
03. november 2023 af mathon

En stamfunktion til f(x) = 2x + 5
er:
$\small F(x)=\int \left (2x+5 \right )\mathrm{d}x=x^2+5x+k$

Da y = 0x + 1 er tangent
er:
$\small F{\,}'(x)=f(x)=2x+5=0$

$\small x=-\tfrac{5}{2}$

Røringspunktet er fælles for
F(x) og tangent
hvoraf:

$\small y=1=x^2+5x+k$

$\small \begin{array}{llllll} 1=\left ( -\tfrac{5}{2}\right )^2+5\cdot \left ( -\tfrac{5}{2} \right )+k\\\\ 1=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+k\\\\ 1=\frac{25}{4}-\frac{50}{4}+k\\\\ 1=-\frac{25}{4}+k\\\\ \frac{4}{4}+\frac{25}{4}=k \end{}$

og dermed:
$\small F(x)=x^2+5x+\tfrac{29}{4}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
03. november 2023 af mathon

En stamfunktion til f(x) = -3x + 8
er:
$\small \small F(x)=\int \left (-3x+8 \right )\mathrm{d}x=-\tfrac{3}{2}x^2+8x+k$

Da y = 2x + 1 er tangent
er:
$\small F{\,}'(x)=f(x)=-3x+8=2$

$\small x=2$

Røringspunktet er fælles for
F(x) og tangent
hvoraf:

$\small y=2x+1$

$\small \begin{array}{llllll} y=2\cdot 2+1=5\\\\ 5=-\frac{3}{2}\cdot 2^2+8\cdot 2+k\\\\ 5=-6+16+k\\\\ 5=10+k\\\\ k=-5 \end{}$

og dermed:
$\small F(x)=-\tfrac{3}{2}x^2+8x-5$

Svar #4
04. november 2023 af vbnmgfh

#3

Okay, men hvorfor sætte F’(x)=f(x) i første omgang? Og hvorfor sætte det lig med 2 kun? Hvor kommer det der to-tal fra? Er det bare fordi det er f(x)’s hældning?

Og er det første med F’(x)=f(x) selve måden vi finder røringspunktets x-koordinat?

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. november 2023 af mathon

Når tangenten er
$\small y=ax+b$
er
$\small F{\, }'(x)=f(x)=a$

Brugbart svar (1)

Svar #6
04. november 2023 af ringstedLC

Okay, men hvorfor sætte F’(x)=f(x) i første omgang?

Stamfunktionen (til en oprindelig funktion) er netop den funktion, hvis afledede giver den oprindelige funktion:

$\begin{align*} F(x) &= \int \!f(x)\,\mathrm{d}x\Rightarrow F'(x)=f(x) \end{align*}$

Og hvorfor sætte det lig med 2 kun? Hvor kommer det der to-tal fra? Er det bare fordi det er f(x)’s hældning?

Nej, det er jo tangenten til F, der har hældningen "2".

Skriv et svar til: Stamfunktion med tangent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.