Matematik

Retningsafledte

15. januar 2024 af VSHansen - Niveau: Universitet/Videregående

Halløjsa,

Har denne tidligere eksamens opgave, og alt fra opgave 1.3 og ned kan jeg ikke finde en løsning på.

Mit generelle problem er at jeg ikke aner hvilken formel jeg skal bruge til hver del opgave. Har ellers søgt længe på nettet. Specielt er opgave 1.3 svær for mig. Håber der er nogen der kan hjælpe mig.

På forhånd mange tusind tak.

Vedhæftet fil: Opgave 1.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar 2024 af M2023

#0. Jeg indsætter opgaven.

Vedhæftet fil:opgave.png

Brugbart svar (1)

Svar #2
15. januar 2024 af ringstedLC

1.5

$\begin{align*} f(x,y) &= e^{x^2}\!\cdot \bigl(4y+5y^2\bigr) \\ z &= f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0) \\ f_x(x,y) &= e^{x^2}\cdot 2x\cdot \bigl(4y+5y^2\bigr) \\ f_y(x,y) &= e^{x^2}\cdot (4+10y) \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
15. januar 2024 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}\textbf{1.5}\\\\f(2,2)=e^{2^2}\left ( 4\cdot 2+5\cdot 2^2 \right )=e^4\cdot 28=28e^4\\\\\\ \triangledown f=\left\{\begin{matrix} 2xe^{x^2}\left ( 4y+5y^2 \right )\\ e^{x^2}\left ( 4+10y \right ) \end{matrix}\right.\\\\\\ \triangledown f_{P_o\left ( 2,2 \right )}=\left\{\begin{matrix} 2\cdot 2\cdot e^{2^2}\left ( 4\cdot 2+5\cdot 2^2 \right )\\ e^4\left ( 4+10\cdot 2 \right ) \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} 112e^4\\24e^4 \end{matrix}\right.\\\\\\ \textup{Tangentplan i }P_o(x_o,y_o)\textup{:}\\\\\qquad \qquad \qquad f\left ( x_o,y_o \right )+\frac{\partial f}{\partial x}\cdot (x-x_o)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \left (y-y_o \right )\\\\\\ \textup{Tangentplan i }P_o(2,2)\textup{:}\\\\\qquad \qquad \qquad 28e^4+112e^4\cdot (x-2)+\mathbf{{\color{Red} 24}}e^4\cdot \left (y-2 \right ) \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. januar 2024 af mathon

Rettelse:

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{Tangentplan i }P_o\left ( 2,2 \right )\textup{:}\\& z=28e^4+112e^4\cdot (x-2)+\mathbf{{\color{Red} 24}}e^4\cdot \left (y-2 \right ) \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
16. januar 2024 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{1.4}\\&\textup{Retningen der maksimerer }\\&\textup{den retningsafledede er }\overrightarrow{\nabla f}\\&& \overrightarrow{\nabla f}(1,2)=&\begin{pmatrix} 2\cdot 1\cdot e^{1^2}\left ( 4\cdot 2+5\cdot 2^2 \right )\\e^{1^2}\left ( 4+10\cdot 2 \right ) \end{pmatrix}=\\\\&&&\begin{pmatrix} 56e\\24e \end{pmatrix}\\\\&&\left | \overrightarrow{\nabla}f(1,2) \right |=&\sqrt{\left (56e \right )^2+\left (24e \right )^2}=8\sqrt{58}\cdot e\\\\&\textup{Enhedsvektor:}\\&& \overrightarrow{u}=\begin{pmatrix} u_1\\u_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\left | \overrightarrow{\nabla}f(1,2) \right |}\cdot \overrightarrow{\nabla}f(1,2)=&\frac{1}{8\sqrt{58}\cdot e}\cdot \begin{pmatrix} 56e\\24e \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{7}{\sqrt{58}}\\\frac{3}{\sqrt{58}} \end{pmatrix}\\\\&&u_1=\frac{\mathbf{{\color{Red} 7}}}{\sqrt{58}} \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
17. januar 2024 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}\textbf{1.6)}\\& f_{\textup{max}}\textup{ i }\left [ 0,2 \right ]\times\left [ 0,3 \right ]\\&& f(2,3)=e^{2^2}\cdot \left ( 4\cdot 3+5\cdot 3^2 \right )=\mathbf{\color{Red} {57}}\cdot e^4 \end{}$

Svar #7
18. januar 2024 af VSHansen

Mange tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #8
18. januar 2024 af M2023

#0. 1.3) Vektoren v har enhedsvektoren u = v/√2. Den retningsaflede er

$f'_u(0,1)=f'_x(0,1)\cdot (-1/\sqrt{2})+f'_y(0,1)\cdot (1/\sqrt{2})=$

$-e^{0}\cdot 2\cdot 0\cdot (4\cdot 1+5\cdot 1^2) /\sqrt{2}+ e^{0}\cdot (4+10\cdot 1)/\sqrt{2}={\color{Red} 14}/\sqrt{2}$

Skriv et svar til: Retningsafledte

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.