Matematik

differentialligninger

28. marts 2024 af Thoms1 - Niveau: A-niveau

Er der nogen der kan hjælpe med denne opgave

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2024-03-28 kl. 11.34.04.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. marts 2024 af jl9

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. marts 2024 af jl9

Differentialligningen har form af logistisk vækst med koefficienterne a=0,00011 og b=0,088.

Se https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/differentialligninger/logistisk-vaekst

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. marts 2024 af peter lind

Du skal kun vise det er en løsning, så du kan simpelthen gøre prøve d.v.s. du sætter den foreslået funktion ind i stedet for y og regner højre og venstre side ud. Hvis det giver det samme på venstre og højre side er det en løsning ellers ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. marts 2024 af ringstedLC

$\begin{align*} y(t) &= \frac{\frac{b}{a}}{1+c\,e^{-b\,t}}=f\bigl(g(t)\bigr) &&,\;f(t)=\frac{\frac{b}{a}}{t}\;,\;g(t)=1+c\,e^{-b\,t} \\ y'(t) &= \Bigl(f\bigl(g(t)\bigr)\Bigr)'=f'\bigl(g(t)\bigr)\cdot g'(t) &&,\;f'(t)=(...)\;,\;g'(t)=(...) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} &= y\cdot \bigl(b-a\,y\bigr) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} &= -a\,y^2-b\,y \\\\ \textup{Vis at}: \\f'\bigl(g(t)\bigr)\cdot g'(t) &= -a\cdot \bigg(\frac{\frac{b}{a}}{1+c\,e^{-b\,t}}\biggr)^{\!2}-b\cdot \frac{\frac{b}{a}}{1+c\,e^{-b\,t}} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. marts 2024 af mathon

$\begin{array}{llllll}\textbf{Generelt:}\\&& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=y\cdot \left ( b-ay \right )\qquad a,b,c,y,\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\in\mathbb{R}_+\qquad y< \frac{b}{a}\\\\\\&& y=\frac{\frac{b}{a}}{1+c\cdot e^{-b\cdot t}}\Rightarrow c\cdot e^{-b\cdot t}=\frac{\frac{b}{a}-y}{y}\\\\\\\textup{differentiation af y:}\\\\&& \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t}=\frac{-\frac{b}{a}}{\left ( 1+c\cdot e^{-b\cdot t} \right )^2}\cdot \left (c\cdot e^{-b\cdot t} \right )\cdot \left ( -b \right )\\\\&& \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t}=\frac{\frac{b}{a}}{1+c\cdot e^{-b\cdot t}}\cdot \frac{\frac{b}{a}}{1+c\cdot e^{-b\cdot t}}\cdot a\cdot \left (c\cdot e^{-b\cdot t} \right ) \\\\&& \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t}=y\cdot y\cdot a\cdot \frac{1}{y}\cdot \left ( \frac{b}{a}-y \right )\\\\\\&& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=y\cdot \left ( b-a\cdot y \right ) \\\\ \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. marts 2024 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{alts\aa \ er}\\&&y=\frac{\frac{b}{a}}{1+c\cdot e^{-b\cdot t}}\\ \textup{l\o sning til}\\\textup{differentialligningen:}\\&&\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=y\cdot \left ( b-a\cdot y \right ) \end{}$

Skriv et svar til: differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.