Matematik

Hjælp til matematikopg

19. maj kl. 20:08 af gymnasieelev12 - Niveau: C-niveau

Hej jeg har brug for hjælp til denne opgave:

En bakteriekultur har en initial population på 1000 bakterier. Antallet af bakterier fordobles hver 6. time.

Angiv forskriften for bakteriepopulationen.

Jeg har fået svaret til 1000*6^x, men er det korrekt? Og hvis ikke kan i forklare nøjagtigt hvorfor og hvorfor ikke, så jeg kan lære det. Tak:)

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. maj kl. 21:17 af ringstedLC

Det tager 6 timer at fordoble populationen, så nej; a er ikke "6":

$\begin{align*}\textup{St\o ttepunkter}&:(x_1,y_1) \;,\;(x_2,y_2) \\&:(0,1000) \;,\;(6,{\color{Red} 2}\cdot 1000) \\ y &= b\cdot a^x \\ y_2 &= b\cdot a^{x_2} \\ y_1 &= b\cdot a^{x_1} \\ \frac{y_2}{y_1} &= \frac{b\cdot a^{x_2}}{b\cdot a^{x_1}} \qquad\textup{ligningerne divideres med hinanden} \\ \frac{y_2}{y_1} &= a^{x_2}\cdot a^{-x_1}=a^{x_2\,-\,x_1} \Rightarrow a=\sqrt[x_2\,-\,x_1\;\;]{\frac{y_2}{y_1}} \quad \textup{formel (84)} \\ \frac{N(x_2)}{N(x_1)}=\frac{2000}{1000} &= a^{6\,-\,0} \Rightarrow a= ... \\ N(x) &= 1000\cdot a^x \;,\;0\leq x \end{align*}$

Svar #2
19. maj kl. 22:06 af gymnasieelev12

hej tak for svar, men jeg forstår ikke rigtig hvad du gør? Kan du uddybe lidt? Jeg ved at jeg skal bruge forskriften for en eksponentiel funktion, fordi der sker en eksponentiel vækst, men går i stå der. Kan se hvad du har gjort men er lidt blank, kan du uddbye?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. maj kl. 22:09 af ringstedLC

Hvis a havde været "6" ville popul. vokse med 500% pr. time:

$\begin{align*} y &= b\cdot 6^{\,x} \\ y &= b\cdot (1+r)^{\,x} &\Rightarrow 6 &= 1+r \\ &&r &= 5 \Rightarrow r_\%=500\% \end{align*}$

Men nu er r_% imidlertid "kun" 100% (en fordobling) pr. 6 timer:

$\begin{align*}1+r &= 1+1=2 \\ \Rightarrow N(x) &= b\cdot 2^{\frac{x}{{\color{Red} 6}}}\;,\;0\leq x \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. maj kl. 22:10 af ringstedLC

Med brug af fordoblingstiden på 6 timer:

$\begin{align*} T_2 &= \frac{\ln(2)}{\ln(a)} &&\textup{formel (87)} \\ \ln(a) &= \frac{\ln(2)}{T_2}=\ln(2)\cdot \frac{1}{T_2} \\ a &= e^{\ln(2)\,\cdot \frac{1}{T_2}}=\Bigl(e^{\ln(2)}\Bigr)^{\!\frac{1}{T_2}} =2^{\frac{1}{T_2}} \\ N(x) &= b\cdot \Bigl(2^{\frac{1}{{\color{Red} 6}}}\Bigr)^{\!x}\;,\;T_2=6 \\ N(x) &= b\cdot 2^{\frac{x}{6}}\;,\;0\leq x \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. maj kl. 22:23 af ringstedLC

#2
hej tak for svar, men jeg forstår ikke rigtig hvad du gør? Kan du uddybe lidt? Jeg ved at jeg skal bruge forskriften for en eksponentiel funktion, fordi der sker en eksponentiel vækst, men går i stå der. Kan se hvad du har gjort men er lidt blank, kan du uddbye?

Først udledes to støttepunkter fra opgaveteksten.

- et med initial popul. til tiden x₁ og et med den dobbelte ini-popul. til tiden x₂

Dernæst vises hvordan formel (84) er fremkommet. Den kaldes også for to-punktsformlen fordi den bruges, når to punkter er kendte.

Endeligt indsættes de to støttepunkter, så a kan beregnes.

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. maj kl. 12:19 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{st\o ttepunkter:}&\left ( x_1,y_1 \right )\textup{ og }\left ( x_2,y_2 \right )\\\\& \textup{eksponentiel sammenh\ae ng:}\\\\&y=b\cdot a^x\\\\&\frac{y_2}{y_1}= \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=a^{x_2-x_1}\\\\& a=\left ( \frac{y_2}{y_1} \right )^{\frac{1}{x_2-x_1}}\\\\\\& b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \end{}$

Skriv et svar til: Hjælp til matematikopg

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.