Matematik

Sandsynlighedsregning

12. juni kl. 15:06 af ukendtbruger2 - Niveau: B-niveau

Hej, jeg har fået de her mulige spørgsmål til mundtlig mat eksamen, og jeg har ingen ide om hvordan jeg skal tage hånd om dem og jeg håber nogen kan hjælpe:

1. Gør rede for multiplikationsprincippet, ved at udregne sandsynligheder for kast med 5 terninger.

2. Gør rede for hvordan man udregner binomialkoefficienter, når man tager 3 succeser ud af 5 mulige.

3. Forklar hvordan man kan sammensætte multiplikations princippet og binomialkoefficenter, så man får binomiale sandsynligheder for en terning der bliver slået 5 gange, hvor man tæller 6’.


Brugbart svar (1)

Svar #2
12. juni kl. 15:34 af Martin2Holte

Hver terning har 6 sider, og kastet med hver terning er en uafhængig begivenhed. Derfor kan vi bruge multiplikationsprincippet til at finde det samlede antal mulige udfald ved kast med 5 terninger.

Antal mulige udfald=6×6×6×6×6=6^5=7776

Så der er 7776 mulige udfald, når du kaster 5 terninger

Brugbart svar (1)

Svar #3
12. juni kl. 15:42 af Martin2Holte

Formlen for 3 succeser ud af 5 mulige er
5!/(3!(5!-3!))
Som giver 120/(6*2) =10

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. juni kl. 22:27 af ringstedLC

Multi.-princippet brugt for sandsynligheden af uafhængige hændelser, der alle skal være opfyldt.

Eksempel: Sandsynligheden for en to'er og en femmere med én terning:

\begin{align*} p &= p(\textup{en to'er udaf fem}) \cdot p(\textup{en femmer udaf fem}) \\ &=\frac{\textup{gunstige}_1}{\textup{mulige}}\;{\color{Red} \cdot }\;\frac{\textup{gunstige}_2}{\textup{mulige}} \end{align*}

#2 Ja, hvis rækkefølgen har betydning. Det har den normalt ikke ved kast med terninger.

Mulige:

\begin{align*} A(n,r) &= \frac{(n+r-1)!}{r!\cdot (n-1)!} \\ A(6,5) &= \frac{(6+5-1)!}{5!\cdot (6-1)!}=\frac{10!}{5!\cdot 5!}=252 \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #5
14. juni kl. 11:58 af M2023

#0. Opgaven handler overordnet om er binomialfordelingen, hvor man gentager forsøg med ens sandsynlighed for succes. Et forsøg kan være kast med en (ærlig) terning, og en succes kan være at slå en 6'er. Der gælder desuden, at de enkelte forsøg skal være uafhængige af hinanden og at sandsynligheden for succes (p) hver gang skal være den samme. Dette er opfyldt for kast med en terning, hvor p = 1/6 for succes i tilfældet med at slå en 6'er. Antallet af gange, som man slår med terningen kaldes N (antalsparameteren). Antallet af succeer kaldes k. I det følgende er N = 5 og k = 3. Det bemærkes i øvrigt at sandsynligheden for et udfald med fem terninger slået på én gang er den samme som sandsynligheden for samme udfald med én terning slået fem gange.

Ad 1: Man ser på 5 kast med en terning, hvor succes = "en 6'er". Det vil sige, at N = 5 og p = 1/6. Vi vil nu begyndelsesvis beregne sandsynligheden for den hændelse, at lige netop de tre første kast er en sekser og de to næste ikke er. (Tre succeer efterfulgt af to fiaskoer.) Da kast med en terning giver uafhængige udfald, så kan man finde sandsynligheden ved hjælp af multiplikations-princippet, der siger, at sandsynligheden for det samlede udfald af de fem kast er de enkelte sandsynligheder ganget med hinanden. Sandsynligheden for succes er 1/6 og sandsynligheden for fiasko er (1 - p) = (1 - 1/6) = 5/6 (sandsynligheden for den komplementære hændelse). Sandsynligheden for tre succeer efterfulgt af to fiaskoer er derfor: (1/6)·(1/6)·(1/6)·(5/6)·(5/6) = 52/6= 0,003.

Ad 2: Vi ser nu på sandsynligheden for tre succeer og to fiaskoer i vilkårlig rækkefælge. Vi skal derfor se på, hvor mange forskellige rækkefølger, som vi kan have af tre succeer og to fiakoer i. Svaret på dette er 

\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=2\cdot 5=10

Sandsynligheden er derfor 10·52/65  = 0,03

Ad 3: Man sammensætter nu 1) og 2) for at få formlen for sandsynligheden for tre succeer i form af en 6'er ved fem kast:

P=\binom{5}{3}\cdot p^3\cdot (1-p)^{(5-3)}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \left ( \frac{1}{6} \right )^3\cdot \left ( \frac{5}{6} \right )^2=0,03


Skriv et svar til: Sandsynlighedsregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.