Matematik

Andengradspolynomium

31. august 2024 af laer5308 - Niveau: A-niveau

Jeg ved ikke, hvordan man bestemmer b og c så funktionens nulpunkter er x = 1 og x = 2.

Jeg har vedhæftet opgaven nedenfor.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2024-08-31 kl. 11.55.30.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. august 2024 af Amatøren

Hej,

Vi kan bruge løsningsformlen og sætte hver af udtrykkene givet ved den positive og negative kvadratrod, lig med henholds x = 1 og x = 2.

Altså får vi følgende to ligninger med to ubekendte b og c:

1) ((x = -b + √(b² - 4·2·c)/2a = 1) ∨ (x = -b + √(b² - 4·2·c)/2a = 2)).

2) ((x = -b - √(b²- 4·2·c)/2a = 1) ∨ (x = -b - √(b² - 4·2·c)/2a = 2)).

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. august 2024 af Amatøren

Jeg har prøvet lige selv at regne det ud i hånden. Kan det passe at opgaven er med hjælpemidler tilladt?

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. august 2024 af Anders521

#2 Et alternativ er først at skrive udtrykket for polynomiet på faktoriseret form a·(x-x₁)·(x-x₂) og derefter omskrive for at aflæse koefficienterne b og c. Da a = 2, x₁ = 1 og x₂ = 2 har du formen 2·(x-1)·(x-2). Måske er det en anelse lettere end at løse et ligningssystem.

Brugbart svar (0)

Svar #4
31. august 2024 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. august 2024 af ringstedLC

To (andre) ligninger med de to ubekendte:

$\begin{align*} f(2)=0 &= 2\cdot 2^2+b\cdot 2+c \\ 0 &=8+2b+c &&\Rightarrow 2b+c &&= -8 \\ f(1)=0 &= 2\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\ 0 &= 2+b+c &&\Rightarrow \;\;b+c &&= -2 \\ &&&\Rightarrow \qquad\; b &&= \;\,... &\quad (\textup{subtraherer ligningerne}) \\ &&&\qquad\quad\;\;\; c &&= -2-b \\ &&&\Rightarrow \qquad\; c &&= \;\,... \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
31. august 2024 af Amatøren

#2, #5

Selvfølgelig!

Min hjerne må siges at være gået på weekend her... Amen altså...

"Måske er det en anelse lettere end at løse et ligningssystem."

En hel del lettere, må man sige :)

Undskyld!

Brugbart svar (0)

Svar #7
31. august 2024 af ringstedLC

Som #3 nævner, haves formlen:

$\begin{align*} p(x) &= a\cdot \bigl(x-x_1\bigr)\cdot \bigl(x-x_2\bigr) &&\textup{formel (80)} \\ &= a\cdot \bigl(x^2-x_2\,x-x_1\,x+x_1\,x_2\bigr) \\ &= a\cdot \bigl(x^2+(-x_2-x_1)\cdot x+x_1\,x_2\bigr) \\ p(x) &= a\,x^2+\underset{=\;b}{\underbrace{a\cdot\bigl(-x_2-x_1\bigr)}}\cdot x+\underset{=\;c}{\underbrace{a\,x_1\,x_2}} \\ f(x) &= 2\,x^2+...\,x+... \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
31. august 2024 af SuneChr

Alternativt kan vi anvende reglen om røddernes sum og produkt.
For 2'grds. polynomiet, hvor koefficienten til x² er 1, gælder: *
- summen af rødderne er lig med koefficienten til x med modsat fortegn
- produktet af rødderne er lig med konstantleddet med samme fortegn.

2x² + bx + c = 0    ⇔    2(x² + ^b/₂x + ^c/₂) = 0
Røddernes sum = 3      røddernes produkt = 2
Da får vi:
^b/₂ = - 3 ∧ ^c/₂ = 2
_____________
* Kan hedde det normaliserede 2'grds. polynomium eller 2'grds. polynomiet på normalform.

Skriv et svar til: Andengradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.