Matematik

Uendelig talrækker

23. september 2024 af Bumbum113 - Niveau: A-niveau

Hej, er der nogen der kan forklare mig hvordan man laver denne opgave. Har virkelig svært ved det

Vedhæftet fil: Screenshot_20240923_193924_Chrome.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #1
23. september 2024 af MandenMedMangeHatte

Siden hvornår lærer man om uendelige rækker i gymnasiet? Der er nok kun en håndfuld elever ud af hele gymnasiet der overhovedet fatter hvad sigmategnet betyder.

1) Det er en kvotientrække. Få den på formen $\sum_{k=0}^{\infty}b^k$

2) Brug kvotientkriteriet $|\frac{a_{k+1}}{a_k}|$

Brugbart svar (1)

Svar #2
23. september 2024 af Eksperimentalfysikeren

Jeg vil tro, det er nemmest at starte med at se på summen af den endelige række:

$s_{n} = \Sigma_{i=0}^{n}b^{i}$

$(1-b)s_{n} =(1-b) \Sigma_{i=0}^{n}b^{i} = \Sigma_{i=0}^{n}b^{i} - b\Sigma_{i=0}^{n}b^{i} = \Sigma_{i=0}^{n}b^{i}-\Sigma_{i=0}^{n}b\cdot b^{i}$
$= \Sigma_{i=0}^{n}b^{i}-\Sigma_{i=0}^{n}b\cdot b^{i} =\Sigma_{i=0}^{n}b^{i}-\Sigma_{i=0}^{n} b^{i+1} =\Sigma_{i=0}^{n}b^{i}-\Sigma_{i=1}^{n+1} b^{i} = 1-b^{n+1}$

1-tallet er det frste led i første sum og bⁿ⁺¹er sidste led i sidste sum, alle andre led går ud.

Der divideres så med (1-b) på begge sider af lighedstegnet, hvilket giver:

$s_{n}=\frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

Undersøg så, hvad grænseværdien er for n gående mod uendelig, og hvad b er i deb opgivne sum.

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. september 2024 af M2023

#0. Jeg indsætter billedet.

Svar #4
24. september 2024 af Bumbum113

Tak for hjælpen, jeg kan dog ikke helt finde ud af hvordan jeg skal bruge kvotientkriteriet

Brugbart svar (1)

Svar #5
24. september 2024 af M2023

#0. 1) Den geometriske række

$\sum_{n=0}^{\infty}a^n$

er konvergent, hvis -1 < a < 1. Her er a = 2x ⇒ -0,5 < x < 0,5.

2) Rækken

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$

er konvergent hvis

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim} \left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1$

Her får man

$a_n=(-1)^n \cdot \frac{(n+2)!\cdot n^2}{n!\cdot 3^{2n}}$

$a_{n+1}=(-1)^{n+1} \cdot \frac{(n+3)!\cdot (n+1)^2}{(n+1)!\cdot 3^{2\cdot(n+1)}}$

$\left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| =3^{-2} \cdot \frac{(n+1)(n+3)}{n^2}\rightarrow 3^{-2}$

for n gående mod uendelig. Da dette er mindre end 1, så er rækken konvergent.

Svar #6
24. september 2024 af Bumbum113

Tusind tak det hjalp rigtig rigtig meget

Skriv et svar til: Uendelig talrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.