Matematik
Hjælp til sandsynlighedsrum
jeg har fået stillet følgende opgave:
Lad (X, A, µ) være et sandsynlighedsrum.
(a) Lad A, B, C være mængder i A, som opfylder:
µ(A ∩ B) = µ(A ∩ C) = µ(B ∩ C) = 2/5.
Vis at:
1/10 ≤ µ(A ∩ B ∩ C) ≤ 2/5.
Jeg føler umiddelbart det er ret lige til, at µ(A ∩ B ∩ C) ≤ µ(A ∩ B) = 2/5, men jeg kan ikke lige komme frem til den nedre grænse. Jeg har overvejet at fællesmængden for de tre (A U B U C) = 1, og om man så kunne lege rundt med nogle komplementærmængder. Har dog ikke lige kommet i mål med det. Så ville høre om nogen havde nogle smarte ideer?
Tak på forhånd
Svar #1
30. september 2024 af oppenede
Ved at addere ligninerne:
µ(A U B) = µ(A) + µ(B) - 2/5
µ(A U C) = µ(A) + µ(C) - 2/5
µ(B U C) = µ(B) + µ(C) - 2/5
ender man med
µ(A) + µ(B) + µ(C) = ½(µ(A U B) + µ(A U C) + µ(B U C)) + 0.6 som er mindre end ½(1 + 1 + 1) + 0.6 = 2.1
Dvs.
1 = µ(A U B U C) ≤ 2.1 - 3 * 2/5 + µ(A ∩ B ∩ C)
1 - (2.1 - 3 * 2/5) ≤ µ(A ∩ B ∩ C)
0.1 ≤ µ(A ∩ B ∩ C)
Svar #2
01. oktober 2024 af oppenede
Rettelse (foreningensmængden A U B U C behøver ikke have mål 1):
som er mindre end ½(1 + 1 + 1) + 0.6 = 2.1
som er mindre end ½(3 * µ(A U B U C)) + 0.6
1 = µ(A U B U C) ≤ 2.1 - 3 * 2/5 + µ(A ∩ B ∩ C)
1 - (2.1 - 3 * 2/5) ≤ µ(A ∩ B ∩ C)
µ(A U B U C) ≤ ½(3 * µ(A U B U C)) + 0.6 - 3 * 2/5 + µ(A ∩ B ∩ C)
0.6 - ½µ(A U B U C) ≤ µ(A ∩ B ∩ C)
Skriv et svar til: Hjælp til sandsynlighedsrum
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.