Determinant

Determinant(V*A*V^-1)= determinant(V)*determinant(A)*determinant(V^-1) = ?

#2. Lad mig gætte: Determinant(A) = Determinant(V*A*V^-1) ?

Så hvordan skal jeg gøre det helt præcist, hvis man sætter matricen ind?

Der er vist også en regel om determinant af en diagonal matrix

#4. Det som jeg tror: Determinant(V*A*V^-1) = determinant(V)*determinant(A)*determinant(V^-1) = determinant(V)*determinant(V^-1)*determinant(A) = determinant(I)*determinant(A) = determinant(A) = 2·4·(-1)·1 = -8.

Nåårrr, så jeg skal betragte dem diagonalt?

Er det bare så simpelt?

Der gælder vel
både       V ^{- 1}(AV) = ( ... )
og           (V ^{- 1}A)V = ( ... )
og at med denne faktororden ikke nødvendigvis gælder, at VV ^{- 1} eller  V ^{- 1}V   "ophæver hinanden" ?
    

#9 Det er korrekt

Vil det så ikke beregnes som #6 ?

For der ophæves V^-1V til I_n ?

Ja. Du skal være opmærksom på at A*V ≠ V*A altså at matrixmultiplikation ikke er kommutativ; men at determinanten(A*V) = Determinanten(A)*determínanten(V) er kommutativ

Iøvrtigt er det en meget vigtig transformatio af A, idet den bruges til skift af basis. V angiver en matriks, som har som input den gamle basis som output den nye basis. V^-1 går så den modsatte vej med input den nye basis og output den gamle basis. Matrisen V*A* V^-1  virkning er så: En vektor i den nye basis ganges på V^-1 og leverer så vektoren til A i det gamle sysem. Ganges den på A får man så billevektoren i det gamle system. Billedvektoren af A i det gamle system bliver så af af V transformeret til det nye system. Resultat er altså at V*A*V^-1 at den angiver samme billede men i det nye koordinatsystem

#6. Vi er vel enige om, at det(VAV^-1) = 2·4·(-1)·1 = -8.

Vi er også enige om, at det(V)·det(V^-1) = 1.

Dermed er vi enige om, at det(A) = det(VAV^-1) = -8. Hvor opstår uenigheden?

Det var et svar til #11. Der skriver han at det ophæves af at V*V^-1 = I_n. Det gør det ikke fordi V*V^-1 står ikke nogen steder. Han er åbenbart ikke klar over at matrixmultiplikation ikke er kommutativ.

Ja men altså det(I_n) er lig med 1.