Matematik

Eksamensspørgsmål

17. oktober 2024 af saraelsayed - Niveau: A-niveau

Hej, kan nogen hjælpe med spørgsmål 10. Jeg har beviserne for alle punkter, men jeg forstår ikke hvordan integration af substitution kan bruges til at vise areal for en cirkle og generlt sammenhæng mellem alle dele.

Vedhæftet fil: Screenshot 2024-10-17 at 21.38.39.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. oktober 2024 af Anders521

#0 Måske kan videoen https://www.youtube.com/watch?v=3WuwVTahMhE være en hjælp.

Vedhæftet fil:z.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. oktober 2024 af mathon

$\begin{array}{llllllll}\textup{Elementer til brug}\\\textup{i det f\o lgende:}\\&& \cos(2t)=2\cos^2(t)-1\Rightarrow \cos^2(t)=\frac{1+\cos(2t)}{2}\\\\\\&& x=r\sin(t)\Rightarrow \mathrm{d}x=r\cos(t)\mathrm{d}t\\\textup{og}\\\\&&t=\sin^{-1}\left(\frac{x}{r} \right )\\..............................\\\\\\\textup{1. substitution:}\\&& \sqrt{r^2-x^2}=\sqrt{r^2-\left(r\sin(t) \right )^2}-\sqrt{r^2-r^2\sin^2{t}}=\\\\&& \sqrt{r^2\left(1-\sin^2(t) \right )}=r\sqrt{\cos^2(t)}=r\cos(t)\\\\\\ \textup{hvoraf:}\\&& \int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r\cos(t)\cdot r\cos(t)\,\mathrm{d}t=\\\\&& r^2\cdot\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(t)\mathrm{d}t=\\\\\\&& r^2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos(2t))\mathrm{d}t\\\\\\ \textup{2. substitution:}\\&& u=2t\\&&\frac{1}{2}\mathrm{d}u=\mathrm{d}t\\\\\\&& \frac{1}{2}r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos(2t))\mathrm{d}t=\frac{1}{4}r^2\int_{0}^{\pi}(1+\cos(u))\mathrm{d}u\\\\\\&& \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. oktober 2024 af mathon

$\begin{array}{lllllllll} \textbf{fortsat}\\&& 4\cdot \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{d}x=4\cdot \frac{1}{4}r^2 \cdot [u+\sin(u)]_{0}^{\pi}=\\\\\\&& r^2\cdot\left(\pi+\sin(\pi)-\left(0-\sin(0) \right )\right )=\\\\\\&& r^2\cdot\left(\left(\pi+0 \right )-\left(0-0 \right )\right)=\\\\&&\pi r^2 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. oktober 2024 af mathon

uden betydning for resultatet
rettelse

$\begin{array}{lllllllll} \textbf{fortsat}\\&& 4\cdot \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{d}x=4\cdot \frac{1}{4}r^2 \cdot [u+\sin(u)]_{0}^{\pi}=\\\\\\&& r^2\cdot\left(\pi+\sin(\pi)-\left(0+\sin(0) \right )\right )=\\\\\\&& r^2\cdot\left(\left(\pi+0 \right )-\left(0+0 \right )\right)=\\\\&&\pi r^2 \end{}$

Skriv et svar til: Eksamensspørgsmål

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.