funktioner af 2 variable

Er det hele opgaveteksten eller er der mere til den?

Umiddelbart er det lidt svært at gennemskue hensigten med opgaven, men det virker det til at du selv kan vælge en vilket som helst funktion af 2 variable.

Tag som et eksempel f(x,y) = x^2 + y^2. Opgavebeskrivelsen går ud på at analysere grafen via differentialregning.

Først bestemmes f_x ved at differentiere funktionen med hensyn til x og fastholde y som konstantled:

f_x = 2x

Herefter f_y:

f_y = 2y

Nu kan vi finde stationere punker på grafen: Det er de punkter, hvor det gælder, at f_x = f_y = 0, eller med andre ord de punkter, hvori både f_x og f_y er lig 0.

Dette giver to ligninger med to ubekendte, som du kan løse som du normalt vil gøre det:

2x = 0 og 2y = 0

Resultatet vil i dette tilfælde være netop (0, 0). Disse værdier indsættes i det originale udtryk for at bestemme z-koordinatet:

f(0, 0) = 0^2 + 0^2 = 0

Dette betyder, at der er et stationert punkt i f(0, 0, 0). Vi ved dog ikke hvilken type. Den måske letteste måde til at bestemme punktets natur er følgende, men hvis i har lært en anden metode bør du benytte den.

Vi indfører 3 tal r, s og t og definerer dem som følgende:

r=f_xx, s=f_xy, t=f_yy.

Herfra kan vi udregne, at r=2, s = 0 og t=2.

Nu opstiller vi udtrykket r * t - s^2. Afhængigt af fortegnene for løsningen af dette udtryk kan vi bestemme punktets natur:

Hvis udtrykkets resultat er større end 0 er punktet enten et minimum eller et maksimum. Hvis r så er større end nul er punktet et maksima. Hvis r derimod er mindre end nul er punktet et minima.

Hvis r * t - s^2 < 0 er punktet et saddelpunkt.

Indsætter vi værdierne for r, t og s får vi udtrykket 2 * 2 - 0 = 4. Da r er større end 0 kan vi konkludere, at punktet er et minima.

Vi ved nu, at der ligger et minima i punktet (0, 0, 0). Da dette er det eneste stationære punkt kan vi desuden konkludere, at grafen må vokse i det vi bevæger os væk fra (0, 0, 0) uanset retning.

Det følgende er måske ikke relevant idet man ifølge opggavebeskrivelsen kun skal bruge differentialregning, men det kan måske hjælpe med at fremme forståelsen.

Hvis man fastholder y som værende 0 i det originale udtryk giver det:

f(x, 0) = x^2 + 0^2

Hvilket altså er et andengradspolynomie. Med andre ord udspænder x-delen af funktionen en parabel. Grundet vores viden om andengradspolynomier ved vi desuden, at denne parabels 'grene' peger opad og at den har netop én løsning i x = 0.

Det samme vil gøre sig gældende hvis man fastholder x = 0 i det originale udtryk. Dette vil også resultere i at y-delen udspænder en tilsvarende parabel.

Givet funktionsforskriften f(x,y) = x^2 + y^2 ved vi derfor, at udtrykket kan tolkes som summen af to parabler. Grafen for disse må derfor danne en 'skål' med eksponentielt voksende stejlhed idet man bevæger sig væk fra (0, 0, 0).

Denne tilgang til problemet bliver måske mere relevant hvis du på et tidspunkt skal have om keglesnit.

Hej 

#2

Det følgende er måske ikke relevant idet man ifølge opggavebeskrivelsen kun skal bruge differentialregning, men det kan måske hjælpe med at fremme forståelsen.

Hvis man fastholder y som værende 0 i det originale udtryk giver det:

f(x, 0) = x^2 + 0^2

Hvilket altså er et andengradspolynomie. Med andre ord udspænder x-delen af funktionen en parabel. Grundet vores viden om andengradspolynomier ved vi desuden, at denne parabels 'grene' peger opad og at den har netop én løsning i x = 0.

Det samme vil gøre sig gældende hvis man fastholder x = 0 i det originale udtryk. Dette vil også resultere i at y-delen udspænder en tilsvarende parabel.

Givet funktionsforskriften f(x,y) = x^2 + y^2 ved vi derfor, at udtrykket kan tolkes som summen af to parabler. Grafen for disse må derfor danne en 'skål' med eksponentielt voksende stejlhed idet man bevæger sig væk fra (0, 0, 0).

Denne tilgang til problemet bliver måske mere relevant hvis du på et tidspunkt skal have om keglesnit.

MAnge tak for hjælpne. Spørgsmålet er nemlig 

Betragt en funktion  z=f(x,y) af to variable, og analysér dens graf via differentialregning.

Introducér de partielle afledede og gør rede for gradient, f(x,y) og stationære punkter på grafen for f.