Matematik

Eksamensspørgsmål

05. december 2024 af saraelsayed - Niveau: A-niveau

Hej, kan nogen hjælpe med den del af spørgmålet

(Gør rede for banekurvens forløb, kom herunder ind på stedvektoren s(t) og hastighedsvektoren s'(t))

Resten af spørgsmålet

Den logaritmiske Spiral er givet ved følgende vektorfunktionen i planen

st=ea·t·cos?(t) ea·t·sin?(t) ,0≤t og 0<a

Gør rede for banekurvens forløb, kom herunder ind på stedvektoren s(t) og hastighedsvektoren s'(t)

Bevis at vinklen, , mellem stedvektoren og hastighedsvektoren er konstant for den logaritmiske spiral.

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2024 af M2023

#0. Se eventuelt https://www.youtube.com/watch?v=Ol-BfTcA6vI.

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. december 2024 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{I bevisf\o relsen}\\\textup{skal du bruge:}\\&\textbf{1)}&\overrightarrow{s}(t)=\begin{pmatrix} e^{at}\cdot\cos(t)\\e^{at}\cdot \sin(t)\end{}\\\\&\textbf{2)}& \overrightarrow{s}{\,}'(t)=\begin{pmatrix} a\cdot e^{at}\cdot\cos(t)-e^{at}\cdot\sin(t)\\a\cdot e^{at}\cdot \sin(t)+e^{at}\cdot \cos(t)\end{}=a\cdot \overrightarrow{s}(t)+\widehat{\overrightarrow{s}}(t)\\\\&\textbf{3)}&\cos(v)=\frac{\overrightarrow{s}(t)\cdot \overrightarrow{s}{\,}'(t)}{|\overrightarrow{s}(t)|\cdot |\overrightarrow{s}{\,}'(t)}| \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. december 2024 af M2023

#2...3)

$cos(v)=\frac{\overrightarrow{s}(t)\cdot \overrightarrow{s}{\,}'(t)}{\left|\overrightarrow{s}(t)|\cdot \right|\overrightarrow{s}{\,}'(t)|}=\frac{\overrightarrow{s}(t)\cdot \left(a\cdot \overrightarrow{s}(t)+\widehat{\overrightarrow{s}}(t) \right ) }{\left|\overrightarrow{s}(t)\right|\cdot \left|a\cdot \overrightarrow{s}(t)+\widehat{\overrightarrow{s}}(t)\right|}=$

$\frac{a\cdot \left| \overrightarrow{s}(t) \right|^2 +0 }{\left|\overrightarrow{s}(t)\right|\cdot \left|\overrightarrow{s}(t) \cdot \sqrt{a^2+1}\right|}=\frac{a\cdot \left| \overrightarrow{s}(t) \right|^2 }{\left| \overrightarrow{s}(t) \right|^2 \cdot \sqrt{a^2+1}}=\frac{a }{\sqrt{a^2+1}}$

Dette er en konstant.

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. december 2024 af ringstedLC

$\begin{align*} 0\;\, &< \frac{a}{\sqrt{a^2+1}} &&< 1&&,\;0<a \\ 0\;\, &< \quad\cos(v) &&< 1 \\ 0^\circ &< \qquad v &&< 90^\circ \end{}$

Vinklen v er altså den spidse vinkel mellem vektorerne.

Vedhæftet fil:_0.png

Skriv et svar til: Eksamensspørgsmål

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.