Matematik

y’=6xy

13. januar 2025 af Zephyrine - Niveau: A-niveau

Hvad får I, når I løser differentialligningen?
Jeg får
y=+-e^(3x^2)*e^c

Jeg har brugt GeoGebra for at tjekke svaret, men den viser ikke den sidste faktor med e^c, men skriver c_1 i stedet for. Er det blot, fordi den sidste faktor regnes som en konstant og derfor betegnes samlet som c_1 i GeoGebra? Og der står heller ikke plus-minus foran? Er mit forkert?

(Beklager formatering, jeg kan ikke skrive i latex, da jeg er på Ipad.)

Tak på forhånd

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. januar 2025 af Sveppalyf (Slettet)

Du har gjort det korrekt. For at gøre løsningen lidt mere overskuelig ville man samle ± og e^c til én samlet konstant. Den kunne man så igen kalde for c (men den har ikke samme værdi som det første c). Din løsning bliver så forsimplet til:

y = c*e^{3x^2}

som stemmer med løsningen fra GeoGebra.

Brugbart svar (1)

Svar #2
13. januar 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll}&& y{\,}'=6x\cdot y\\\\\textup{"panserformlen":}\\&& y{\,}'-6x\cdot y=0\\\\ \textup{multipliceres med }e^{-3x^2}\\ && y{\,}'\cdot e^{-3x^2}-6x\cdot y\cdot e^{-3x^2}=0\\\\&& (y\cdot e^{-3x^2})'=0\\\\\textup{integreres p\aa \ begge sider:}\\&& \int (y\cdot e^{-3x^2})'\;\mathrm{d}x=\int 0\;\mathrm{d}x\\\\&&y\cdot e^{-3x^2}=C\\\\\\&&y=C\cdot e^{3x^2} \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
13. januar 2025 af Sveppalyf (Slettet)

Eller med separation af de variable:

dy/dx = 6xy <=>

1/y dy = 6x dx <=>

∫ 1/y dy = ∫ 6x dx <=>

ln(|y|) = 3x² + c <=>

|y| = e^{3x^2 +c} <=>

y = ±e^{3x^2}*e^c

og så samler vi ±e^c til en ny konstant som vi igen kalder for c:

y = c*e^{3x^2}

Skriv et svar til: y’=6xy

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.