Matematik

Differentialligning

22. januar 2025 af jepp7815 - Niveau: A-niveau

Er opgave korrekt besvaret?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2025-01-22 kl. 11.18.52.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. januar 2025 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. januar 2025 af mathon

$y(x)=\frac{(\ln(|x+5|)^2}{4} +\ln(|x+5|)+1$

Svar #3
22. januar 2025 af jepp7815

Hvordan finder man ud af det?

Og tak for svar

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. januar 2025 af M2023

#3. #1 og #2 er ens.

Man regner det ud ved seperation af de variable:

$x=-5 \; \wedge \; (x+5)\cdot \frac{dy}{dx}=\sqrt{y} \Leftrightarrow y=0$

$x\ne -5 \;\wedge\;(x+5)\cdot \frac{dy}{dx}=y^{1/2} \Leftrightarrow$

$x\ne -5\;\wedge\; \int y^{-1/2}\; dy=\int (x+5)^{-1}\;dx \Leftrightarrow$

$x\ne -5\;\wedge\;2 \cdot y^{1/2}= ln|x+5| + C' \Leftrightarrow$

$x\ne -5 \;\wedge\; y= \left( \tfrac{1}{2}\cdot ln|x+5| + C\right)^{2}$

$y(-4)=1 \Rightarrow 1= \left( \tfrac{1}{2} \cdot ln|-4+5| + C \right)^{2} \Rightarrow C = 1$

Samlet løsning:

$y(x)=\left\{ \begin{array}{ccl} 0 & \mbox{for} & x=-5 \\ \left( \tfrac{1}{2}\cdot ln|x+5|+1 \right )^2 & \mbox{for} & x \ne -5 \end{array}\right.$

Plot i Geogebra (punktet (-5,0) mangler at blive tilføjet til grafen):

Vedhæftet fil:Graf.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. januar 2025 af AMelev

Løsningen skal være differentiabel, så ingen af løsningerne er helt korrekte. Løsningerne skal angives med såvel x som y i sammmenhængende intervaller
#0 Du er tættest på, men der hvor du dividerer med x+5 glemmer du at tage forbehold for x+5 ≠ 0, altså x ≠ -5.
Det forbehold skal du have med.
Det giver så de to intervaller ]-∞,-5[ og ]-5,∞[, og da punktet (-4,1) skal ligge på løsningskurven og -4 ligger i ]-5,∞[, er det definitionsmængden for f.

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. januar 2025 af M2023

#4. Rettelse:...

$x=-5 \; \wedge \frac{dy}{dx}\; er\;defineret \wedge (x+5)\cdot \frac{dy}{dx}=\sqrt{y} \Leftrightarrow y(-5)=0$

$x\ne -5 \;\wedge\;(x+5)\cdot \frac{dy}{dx}=y^{1/2} \Leftrightarrow$ $x\ne -5 \;\wedge\; y= \left( \tfrac{1}{2}\cdot ln|x+5| + C\right)^{2}$

med startbetingelsen:

$y(-4)=1 \Rightarrow 1= \left( \tfrac{1}{2} \cdot ln|-4+5| + C \right)^{2} \Rightarrow C = 1$

Da y(x) går mod uendelig for x gående mod -5, så er dy/dx ikke defineret for x = -5, og man ser derfor bort fra første del af løsningen. Samlet løsning bliver:

$y(x)=\left( \tfrac{1}{2}\cdot ln|x+5|+1 \right )^2 ,\; x \ne -5$

Plot i Geogebra:

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. januar 2025 af AMelev

#6 Kun den højre del er løsninngskurve.

Vedhæftet fil:Separation af variable.docx

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. januar 2025 af M2023

#6. rettelse: Man skal finde den differentiable funktion y(x), for hvilket der gælder:

$x=-5 \; \wedge (x+5)\cdot \frac{dy}{dx}=\sqrt{y} \Leftrightarrow y(-5)=0$

eller

$x\ne -5 \;\wedge\;(x+5)\cdot \frac{dy}{dx}=y^{1/2} \Leftrightarrow$ $x\ne -5 \;\wedge\; y= \left( \tfrac{1}{2}\cdot ln|x+5| + C\right)^{2}$

Idet y(x) ikke er defineret for x = -5, så får man følgende mulige løsninger:

$y(x) = \left\{ \begin{array}{lcl} \left( \tfrac{1}{2} \cdot ln(-(x+5))+C \right )^2 & \mbox{for} & x<-5 \\ \left( \tfrac{1}{2} \cdot ln(x+5)+C \right )^2 & \mbox{for} & x>-5 \end{array}\right.$

Med startbetingelsen: y(-4) = 1, hvor x > -5, så finder man C ved:

$1= \left( \tfrac{1}{2} \cdot ln(-4+5) + C \right)^{2} \Rightarrow C = 1$

hvilket giver den partikulære løsning:

$y(x)=\left( \tfrac{1}{2}\cdot ln(x+5)+1 \right )^2 ,\; x > -5$

Plot i Geogebra:

hvilket stemmer med plottet i #1.

Vedhæftet fil:Graf.png

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.