Matematik

Trigonometriske identiteter

24. januar 2025 af DoctorManhatten - Niveau: A-niveau

Hejsa

Hvis nu at man har følgende

A*e^i*^ω^*t+B*e^-i*ω*t

Hvor A = (a-ib)/(2)

Hvor B = (a+ib)/(2)

Husk at der gøres brug af

eⁱ= cos(θ)+isin(θ)

Til sidst ender man med at have følgende

= a*cos(ω*t)

Mit spørgsmål

Hvad er det der afgør om om c = a? og b = 0? Er det følgende værdier for henholdsvis A = (a-ib)/(2) og B = (a+ib)/(2)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. januar 2025 af Eksperimentalfysikeren

Der mangler oplysninger. Har du ikke en opgavetekst, du kan vedhæfte?

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. januar 2025 af peter lind

Det skyldes også e^iωt og e^-iωt

Du erstatter simpelhen A med (a-ib)/2 og B med (a+ib)/2 i udtrykket.

Desuden bruger du formlen nævnt i #0 på e^iωt og e^-iωt.

Derefter er det bare at se at de fleste af leddene går ud mod hinanden

Svar #3
25. januar 2025 af DoctorManhatten

Nej desvære. Jeg har ikke en opgave tekst. Hvad mangler (I) af oplysninger for at kunne besvare mine spørgsmål? Alt det der står i #2 var jeg bekendt med i forvejen.

mx^''=-kx-bx^'

Der divideres med m på begge sider af lighedstegnet.

((mx^'')/(m))=-((k)/(m))*x-((b)/(m))*x^'

((k)/(m)) erstattets med (ω_o)²

((b)/(m)) erstattes med γ

x^''=-(ω_o)²*x-γ*x^'

0 = x^''+(ω_o)²*x+γ*x^'

Den generelle løsning til denne differential - ligning er som følge

x = A*e^K₁*t+B*e^K₂*t

K₁ og K₂ findes på samme måde som rødderne i en andengradsligning.

0=K²+γK+(ω_o)²

a = 1

b = γ

c = (ω_o)²

K_n = (-γ±(squart(γ²-4*1*(ω_o)²)))/(2*1)

Til sidst findes der 3 fænomener inden for dæmpede harmoniske svingninger.

Underdamping, Overdamping og Critical damping

Hvis diskriminanten er negativ, så er det lig med underdamping.

Hvis diskriminanten er positiv, så er det lig med overdamping.

Hvis diskriminanten er lig 0, så er det lig med critical damping.

Jeg håber at såfremt oplysningerne har manglet, så vil dette hjælpe på det hele.

Tilbage til mit oprindelige spørgsmål "hvad er det der afgør om c = a? og b = 0? Er det følgende værdier for henholdsvis A = (a-ib)/(2) og B = (a+ib)/(2)?

Svar #4
25. januar 2025 af DoctorManhatten

Hej igen. (I) siger bare til hvis (I) mangler nogle flere oplysninger for at kunne besvare mine spørgsmål.

Jeg kan måske også prøve at omformulere mine spørgsmål. For eksempel skriver jeg "Er det følgende værdier for henholdsvis A = (a-ib)/(2) og B = (a+ib)/(2), som afgør om hvorvidt c = a og b = 0?"

"Hvorfor bruges netop disse to komplekse tal for A og B?" Hvorfor ikke A = (a-ib)/(2) og B = (a-ib)/(2);

A = (a+ib)/(2) og B = (a+ib)/(2); A = (-a+ib)/(2) og B = (-a+ib)/(2); A = (-a-ib)/(2) og B = (-a-ib)/(2); A = (a-ib)/(2) og B = (-a+ib)/(2); A = (a-ib)/(2) og B = (-a-ib)/(2); A = (a+ib)/(2) og B = (-a+ib)/(2); A = (a+ib)/(2) og B = (-a-ib)/(2); A = (-a+ib)/(2) og B = (a-ib)/(2); A = (-a+ib)/(2) og B = (a+ib)/(2); A = (-a+ib)/(2) og B = (-a-ib)/(2); A = (-a-ib)/(2) og B = (a-ib)/(2); A = (-a-ib)/(2) og B = (a+ib)/(2); A = (-a-ib)/(2) og B = (-a+ib)/(2); A = (-a-ib)/(2) og B = (-a-ib)/(2).

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. januar 2025 af Eksperimentalfysikeren

Hvad er c?

Svar #6
26. januar 2025 af DoctorManhatten

Hej igen.

c er amplituden. Dvs. det maximale udsving funktionen har i begyndelsen.

Svar #7
26. januar 2025 af DoctorManhatten

Hej endnu engang. Da jeg slap tråden her i svar#3 fik jeg vist ikke gjort det helt færdigt. Det sidste som jeg nævner i svar#3 er de 3 såkaldte fænomener "Underdampin, Overdamping og Critical damping". Jeg viser tilmed en generel formel for disse.

K_n = (-γ±(squart(γ²-4*1*(ω_o)²)))/(2*1)

Altafhænig af om hvorvidt der er tale om "Underdamping, Overdamping eller Critical damping" så spiller diskriminanten en rolle. Hvis diskriminanten er negativ så ses fænomenet Underdamping. Hvis diskriminanten er positiv så ses fænomenet Overdamping. Til sidst hvis diskriminanten er lig 0 så ses fænomenet Critical damping.

I det næste behandler jeg kun fænomenet Underdamping.

Ved at gennemregne K_n-formlen ovenover med en negativ diskriminant dvs.

γ²<4*1*(ω_o)²

Så haves følgende formel til sidst

K_n=-(1/2)*γ±i*squart((ω_o)²-(1/4)*γ²)

Vi kan ydermere skrive følgende

ω^'=squart((ω_o)²-(1/4)*γ²)

Disse 2 formler for henholdsvis K_n og ω^' skrives ind i den generelle løsning for den oprindelige differential - ligning.

x = A*e^K₁*t+B*e^K₂*t

Dermed kommer der til at stå følgende

x = A*e^{-(1/2)*γ*t+i*ω'*t}+B*e^{-(1/2)*γ*t-i*ω'*t}

Til sidst indsættes (a-ib)/(2) i stedet for A, mens (a+ib)/(2) indsættes i stedet for B.

Dermed kommer der til at stå følgende

x = ((a-ib)/(2))*e^{-(1/2)*γ*t+i*ω'*t}+((a+ib)/(2))*e^{-(1/2)*γ*t-i*ω'*t}

Alt dette munder ud i at man får følgende

x = e^-(1/2)*γ*t*(a*cos(squart((ω_o)²-(1/4)*γ²)*t)+b*sin(squart((ω_o)²-(1/4)*γ²)*t)

Mit spørgsmål; Hvad er a og b? Og hvorfor er det lige at man bruger (a-ib)/(2) for A og (a+ib)/(2) for B?

Jeg ved ydermere at man kan omskrive ovenforstående til følgende

= c* cos(squart((ω_o)²-(1/4)*γ²)*t)

Jeg antager at c = a og b =0, men ved ikke om dette er rigtigt.

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. januar 2025 af mathon

A*e^i*^ω^*t+B*e^-i*ω*t

Hvor A = (a-ib)/(2)

Hvor B = (a+ib)/(2)

Husk at der gøres brug af

e^i·Θ = cos(θ)+i·sin(θ)

Til sidst ender man med at have følgende

x = √(a^2+b^2)*cos(ωt-Φ_o)

Brugbart svar (1)

Svar #9
28. januar 2025 af mathon

Dæmpet harmonisk svingning, hvor resistansen er proportional med hastigheden:

$\begin{array}{lllll}&& m\cdot \ddot {x}=-c\cdot \dot{x}-k\cdot x\\\\&& \ddot{x}+\frac{c}{m}\cdot\dot{x}+\frac{k}{m}=0\\\\&& \ddot{x}+2p\cdot\dot{x}+\omega^2=0,\qquad p=\frac{c}{2m}\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\\\\ \textup{karakterligning:}\\&& r^2+2p\cdot r+\omega^2=0\\\\&& r=-p \pm\sqrt{p^2-\omega^2}\\\\ \textup{\textbf{under}kritisk d\ae mpning:}&&p<\omega\\\\&& r=-p+i\cdot(\pm\sqrt{ \omega^2-p^2})\\\\ \textup{L\o sning:}\\&&x=e^{-p\cdot t}\cdot\left(c_1\cdot e^{\sqrt{\omega^2-p^2}\cdot t} +c_2\cdot e^{\sqrt{\omega^2-p^2}\cdot t}\right )\\\\&& x=e^{-\frac{c}{2m}\cdot t}\cdot \sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}\cdot \cos\left(\sqrt{\omega^2-p^2}\cdot t-\varphi_0\right),\quad \varphi_0=\tan^{-1}\left(\frac{c_2}{c_1} \right )\\\\&& x=\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}\cdot e^{-\frac{c}{2m}\cdot t}\cdot \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c^2}{4m^2}}\cdot t-\varphi_0\right)\\\\\\&& x=C\cdot e^{-\frac{c}{2m}\cdot t}\cdot \cos\left(\sqrt{\frac{4\cdot m\cdot k-c^2}{4m^2}}\cdot t -\varphi_0\right ),\quad C=\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2} \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #10
28. januar 2025 af mathon

Det ses,
at amplituden
$C\cdot e^{-\frac{c}{2m}\cdot t}$

er en aftagende funktion af t.

Brugbart svar (1)

Svar #11
28. januar 2025 af mathon

samt
at cos-funktionen afgrænses af
   funktionerne
          $C\cdot e^{-\frac{c}{2m}\cdot t}$
   og
  - $C\cdot e^{-\frac{c}{2m}\cdot t}$

Brugbart svar (1)

Svar #12
29. januar 2025 af mathon

Hvis $c=0$ (dvs en svingning uden resistans = en harmonisk svingning)

haves
$x=C\cdot \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t-\varphi_0 \right )$

hvor $C$ er amplituden.

Brugbart svar (1)

Svar #13
29. januar 2025 af mathon

Hvis $c=c_2=0$ (dvs en svingning uden resistans = en harmonisk svingning)

haves
$x=c_1\cdot \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t \right )$

hvor $c_1$ er amplituden.

Brugbart svar (1)

Svar #14
31. januar 2025 af mathon

endvidere i detaljer
haves, når a og b er reelle konstanter forskellige fra nul:

$\begin{array}{lllll}&& a\cdot \cos(x)+b\cdot \sin(x)\\\\&& a\cdot \left(\cos(x)+\frac{b}{a}\cdot \sin( x) \right )\\ \textup{her s\ae ttes}\\&& \tan(\varphi_o)=\frac{\sin(\varphi_o)}{\cos(\varphi_o)}=\frac{b}{a}\\ \textup{og dermed}\\&& \tan^2(\varphi_o)=\left(\frac{b}{a} \right )^2=\frac{b^2}{a^2}\\\\\\&& \frac{a}{\cos(\varphi_o)}\cdot (\cos(x)\cdot \cos(\varphi_o)+\sin(x)\cdot \sin(\varphi_o))\\\\&& \frac{a}{\cos(\varphi_o)}\cdot \cos(x-\varphi_o)\\\\\\ \textup{med}\\&& \frac{a}{\cos(\varphi_o)}=\sqrt{\left(\frac{a}{\cos(\varphi_o)} \right )^2}=\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2(\varphi_o)}}=\sqrt{a^2\cdot \frac{1}{\cos^2(\varphi_o)}}=\\\\&&\sqrt{a^2\cdot \left(1+\tan^2(\varphi_o) \right )}=\sqrt{a^2\cdot \left( 1+\frac{b^2}{a^2}\right )} =\sqrt{a^2+b^2}\\ \\\textup{hvoraf}\\\\&& a\cdot \cos(x)+b\cdot \sin(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \cos(x-\varphi_o) \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #15
01. februar 2025 af mathon

Ofte foretrækkes funktionen

$A\cdot \cos(\omega t-\varphi_o)$
på formen
$A\cdot \sin(\omega t+\varphi_o)$

hvilket opnås ved
brug af den trigonometriske
identitet:

$\cos(x)= \sin\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$

altså
$A\cdot\cos(\omega t-\varphi_0)=A\cdot\sin\left(\omega t -\varphi_0+\tfrac{\pi}{2} \right )=A\cdot\sin\left(\omega t +\phi_0 \right )\qquad \phi_0=\tfrac{\pi}{2}-\varphi_0$

hvor skiftet fra cos til sin blot kræver en anden begyndelsesfase.

Skriv et svar til: Trigonometriske identiteter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.