Matematik

Vandbad - proportionalitetskonstant

01. februar 2025 af SkolleNørd - Niveau: A-niveau

Hej
Er der nogle der kan hjælpe mig med denne opgave? Jeg er ikke helt med på hvordan opgaven skal løses.

Vedhæftet fil: IMG_0420.jpeg

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. februar 2025 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. februar 2025 af ringstedLC

a) "... er væksthastigheden proportional med forskellen mellem omgivelsernes temperatur og vandbadets temperatur":

$\begin{align*}f'(t) &= a\cdot\bigl(T-f(t)\bigr) \end{}$

Svar #3
02. februar 2025 af SkolleNørd

#2
a) "... er væksthastigheden proportional med forskellen mellem omgivelsernes temperatur og vandbadets temperatur":

Jeg er ikke helt med.

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{llllllll}\textbf{a)}\\&& f{\,}'(t)=a\cdot (T-f(t))\\\\&\textup{Inds\ae t de oplyste}\\&\textup{konstanter og st\o rrelser:}\\&& f{\,}'(t)=0.01\cdot (22-50)\\\\&& f{\,}'(0)=0.01\cdot (-28)\\\\\\&& f{\,}'(0)=-0.28 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{llllll}\textbf{b)}\\&\textup{Brug "panserformlen"}&\\&& f{\,}'(t)+a\cdot f(t)=a\cdot T\\\\&& f(t)=e^{-a\cdot t}\int a\cdot T\cdot e^{a\cdot t}\mathrm{d}t\\\\&& f(t)=e^{-a\cdot t}\cdot \left(a\cdot T\cdot\frac{1}{a}\cdot e^{a\cdot t}+C \right )\\\\\\&& f(t)=C\cdot e^{-a\cdot t}+T \end{}$

Indsæt igen de givne værdier.

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll} . \\\\&&f(t)=C\cdot e^{-0.01\cdot t}+22\\\\&& 50=C\cdot e^{-0.01\cdot 0}+22\\\\&& 50=C+22\\\\&& C=50-22=28\\\\ \textup{differentialligning:}\\&&f(t)=28\cdot e^{-0.01\cdot t}+22 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. februar 2025 af mathon

Kontrol

$\begin{array}{llllll} .&&f{\,}'(t)=\left(28\cdot e^{-0.01\cdot t}+22 \right )'\\\\&& f{\,}'(t)=28\cdot (-0,01)\cdot e^{-0.01\cdot t}\\\\&& f{\,}'(t)=-0.28\cdot e^{-0.01\cdot t}\\\\\\&& f{\,}'(0)=-0.28\cdot e^{-0.01\cdot 0}\\\\&& f{\,}'(0)=-0.28\ \end{}$

Svar #8
02. februar 2025 af SkolleNørd

Kan du forklare mathon valget af funktion og formler, da keg aldrig har haft en lignende opgave

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{Panserformlen}\\ \textup{udledt:}\\&& y{\,}'=b-a\cdot y\qquad \textup{a og b er reelle konstanter}\\\\ \textup{eller}\\&& y{\,}'+a\cdot y=b\qquad \int_0 a\;\mathrm{d}x=ax\\\\ \textup{der multipliceres}\\ \textup{med }e^{ax}\textup{:}\\&& \left(y{\,}'+a\cdot y \right )\cdot e^{ax}=b\cdot e^{ax}\\\\&& y{\,}'\cdot e^{ax}+a\cdot y\cdot e^{ax}=b\cdot e^{ax}\\\\\\&& \left(y\cdot e^{ax} \right )'=b\cdot e^{ax}\\\\ \textup{der integreres:}\\&& \int\left(y\cdot e^{ax} \right )'\mathrm{d}x =\int b\cdot e^{ax} \,\mathrm{d}x\\\\&&y\cdot e^{ax} =\frac{b}{a}\cdot e^{ax}+C\\\\&& y=e^{-ax}\cdot \left(C+\frac{b}{a}\cdot e^{ax} \right )\\\\\\&& y=f(x)=C\cdot e^{-ax}+\frac{b}{a} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{Der g\ae lder alts\aa}\\ && y{\,}'=b-a\cdot y\qquad \textup{a og b er reelle konstanter}\\\\& \Updownarrow\\\\&& y=f(x)=C\cdot e^{-ax}+\frac{b}{a} \quad \textup {hvor C er en arbitr\ae r konstant}\end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. februar 2025 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (0)

Svar #12
02. februar 2025 af ringstedLC

Det må være en fejl i opgaveteksten, at prop.-konstanten har enheden s^-1, når t er i minutter:

$\begin{align*} \textup{Enheder}:\\ \bigl[f'(t) \bigr] &= {\color{Red}\textup{min}^{-1}}\cdot\bigl(\,^\circ\textup{C}-\,^{\circ}\textup{C})\bigr)=\,^\circ\textup{C\,min}^{-1} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. februar 2025 af ringstedLC

a) Til tiden t₀ haves en temperatur på 50 ºC. Væksthastigheden er da:

$\begin{align*} f'(t_0) &= 0.01\cdot\bigl(22-50) \\ f'(t_0) &= -0.28\;\bigl(\,^\circ\textup{C\,min}^{-1}\bigr) \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
02. februar 2025 af ringstedLC

b) Vandet afkøles fra sin begyndelsestemperatur til omgivelsestemperaturen T.

Da afkølingens hastighed aftager med tiden fordi temp.-forskellen mindskes, er vandets temperatur f(t) umiddelbart en aftagende eksponential vækst på formen:

$\begin{align*} f(t) &= c\, e^{-a\,t}\;,\; \{a,c\}\in\mathrm{R_+} \end{}$

Men fordi vandet ikke kan blive koldere end T er væksten en (aft.) forskudt eksponential vækst på formen:

$\begin{align*} f(t)=c\, e^{-a\,t}+T \;,\;0^{\,\circ}\textup{C}\leq T< 100^{\,\circ}\textup{C} \end{}$

hvilket er én af løsningerne til diff.-ligningen:

$\begin{align*} y' &= a\cdot\bigl(T-y\bigr) \\ &= a\cdot\Bigl(T-\bigl(c\,e^{-a\,t}+T\bigr)\Bigr) \\ &= a\cdot\bigl(T-c\,e^{-a\,t}-T\bigr) \\ &= a\cdot\bigl(-c\,e^{-a\,t}\bigr) \\ y' &= c\cdot(-a)\cdot e^{-a\,t} \\ y &= c\cdot e^{-a\,t}+T\;,\;T=\textup{integrationskonstanten} \end{}$

Skriv et svar til: Vandbad - proportionalitetskonstant

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.