differentialkvotient bevis

Det er meget enklere.

Hvis du har f(x) = x³  vil det også gælde at f(y) = y³ eller et hvilket som helst andet udtryk også hvis udtrykket er x+h

altså f(x+h) = (x+h)³

Hvad du kalder variablen er sagt på en anden måde aldeles ligegyldig.

f'(x) = lim ( (x+h) -x)/h for h->∞ er en definition Glem ikke parenteserne.

Differentialkvotienten er værdien i et punkt altså for et vilkårlig valgt x. Når du udvider det til at gælde for alle x bliver det til en funktion.

hvorfor er det man bruger formlen f'(x)=lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h for at finde differentialkvotienten?

fordi sådan er differentialkvotienten defineret.

#0 

Hvorfor er det at f(x+h)=(x+h)^3 når f(x)=x^3?

Ved indsættelse at tallet x+h i funktionen f, får du funktionsværdien (x+h)³. Det ser måske mystisk ud at skrive et tal som regnestykket x+h. Men tænk hvis du f.eks. satte tallet 4 ind i f, så ville du skrive funktionsværdien som 4³ (da 4 skal opløftes til 3), men tallet 4 kan jo også skrives som regnestykket x+h, f.eks. som 1+3. I så fald kan funktionsværdien skrives som (1+3)³. 

Og til sidst men ikke mindst, differentialkvotienten for en funktion er det samme som den aflede funktion for en funktion, ikke?

Differentialkvotienten er funktionsværdien f'(x₀) der fås ved at indsætte tallet x₀ i den afledede funktion f'(x). Den angiver hældningen for en tangent i punktet (x₀, f(x₀).

Okay mange tak.

Jeg har forstået det som følge:

Så differentialkvotienten er defineret som f'(x)=lim h->0 ( f(x+h)-f(x) )/h, og derfor er der ikke noget bevis eller forklaring til hvorfor man bruger formlen.

f(x+h)=(x+h)^3 når f(x)=x^3 fordi man bare erstatter x med (x+h) og det samme gælder for andre funktioner.

Den afledede funktion til f(x) er den differentierede f(x) og differentialkvotienten er en værdi man får ved at indsætte et tal i stedet for x i den afledede funktion.

Er der noget jeg har forstået forkert, eller er det rigtigt forstået?

#5

Jeg har forstået det som følge:

Så differentialkvotienten er defineret som f'(x)=lim h->0 ( f(x+h)-f(x) )/h, og derfor er der ikke noget bevis eller forklaring til hvorfor man bruger formlen.

Ja, differentialkvotienten er defineret som sådan. Der er intet bevis. Du bruger jo definitionen til at bevise at  differentialkvotienten for din funktion eksisterer, dvs. med f(x) = x³ er f '(x₀) = 3x₀² ved punktet (x₀,f(x₀)) (Vær opmærksom op at 3x₀² er en funktionsværdi, altså et tal).

Men kan man ikke blot bruge formlen (som du sikkert kender til), hvor differentiering af x^a giver  ax^a-1 og så sætte tallet x₀ ind?  Svaret er nej. Med formlen får du givet, men ikke bevist, hvad den afledede til en funktion er. Derfor må du ty til definitionen.

f(x+h)=(x+h)^3 når f(x)=x^3 fordi man bare erstatter x med (x+h) og det samme gælder for andre funktioner.

Hvis jeg forstår dig ret, så ja. Bogstavet x i din funktion f er en pladsholder (en variabel). Det holder plads til et tal. Der er dog lærebøger der også bruger det som et tal, hvilket er nok ikke så smart hvis rollen som både pladsholder og tal giver anledning til misforståelse. 

Den afledede funktion til f(x) er den differentierede f(x) og differentialkvotienten er en værdi man får ved at indsætte et tal i stedet for x i den afledede funktion.

Ja.