Matematik

Trigonometriske funktioner

14. februar 2025 af upontheabyss - Niveau: B-niveau

Hej alle

Jeg skal lave det her bevis for perioden af en harmonisk svining

Det starter med at man siger

bx_¹+x=π/2, så isolerer man x₁.

Er der nogen der har en god forklaring for hvorfor man starter med det her trin?

resten af beviset går med at man har

bx₂+c=π/2 + 2π, hvor man så isolerer x₂

hvorfor siger man +2π??

kan nogen hjælpe med at forklare dette

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. februar 2025 af mathon

Skriv hele opgaveteksten.

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. februar 2025 af mathon

Generelt gælder
$\begin{array}{llllll} \begin{matrix}\cos(x)=\cos(x+p\cdot 2\pi) \\ &p\in \mathbb{Z}\\ \sin(x)=\sin(x+p\cdot 2\pi) \end{} \end{}$

hvilket bl.a. kan ses på enhedscirklen,
hvor enhedsvektor
$\begin{array}{llllll} \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta) \end{}=\begin{pmatrix}\cos(\theta+p\cdot 2\pi)\\ \sin(\theta) + p\cdot 2\pi) \end{} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. februar 2025 af mathon

rettelse:
hvilket bl.a. kan ses på enhedscirklen,
hvor enhedsvektor
$\begin{array}{llllll} \overrightarrow{OP}_\theta=\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta) \end{}=\begin{pmatrix}\cos(\theta+p\cdot 2\pi)\\ \sin(\theta + p\cdot 2\pi) \end{} \end{}$ da 2π er NETOP én ekstra
cirkelomgang.

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. februar 2025 af AMelev

cos og sin er periodiske med perioden 2π. Dvs. at cos(z) = cos(z + 2π) og sin(z) = sin(z + 2π) (funktionerne gentagerr sig selv for hver 2π).
Hvis du har en harmonisk svingning f(x) = sin(b·x + c) kan du fx se, hvornår (x1) den bliver 1 og hvornår den så bliver 1 igen (x2).
x2 - x1 er så perioden for svingningen.

Helt generelt: Hvis du sætter z = b·x1 + c og z + 2π = b·x2 + c og trækker de to ligninger fra hinanden, så får du b·x2 - b·x1 = 2π ⇔ b·(x2 - x1) = 2π ⇔ $x2-x1=\frac{2\pi}{b}$ , hvilket altså er prioden for svingingen.

PS! Du har vist lavet en skrivefejl. Skulle der ikke stå bx1+c=π/2, så isolerer man x1.

Skriv et svar til: Trigonometriske funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.