Matematik

differentialligning

09. april 2025 af EllaS31 - Niveau: B-niveau

Hjælp til opgave b i denne opgave som lyder : i en model ka væksten af et bestemt træ beskrives ved differentialligningen dh/dt = 0,38h-0,00046h^2 hvor h er højden af træet (målt i cm), og t er træets alder (målt i år fra det tidpsunkt, hvor træet blev plantet). da træet blev plantet havde det højden 82.

a) bestem en forskrift for h(t) - det har jeg gjort og det gav h(t)= 779000/943+8557e^-(19t/50)

b) hvad et træets alder iflge modellen, når det vokser? - her er jeg lidt i i tvivl. Jeg tænkte at jeg ville benytte formel nr 179 til at omskrive differentiallingen, men så går jeg i stå derefter ift hvad man så skal gøre

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. april 2025 af peter lind

"hvad et træets alder iflge modellen, når det vokser" er meningsløst.

Vedlæg den originale opgave som billedfil eller til nød pdf fil. Gør altid det så man ikke er i tvivl, hvad opgaven går ud på.

Hvis du mener hvad alderen er nå træet har nået en bestemt højde, skal du finde den inverse tii h(t)

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. april 2025 af mathon

$h(t)=\frac{826.087\cdot (1.462285)^t}{1.462285^t+9.07423}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. april 2025 af ringstedLC

b) Hvis du mener: "..., når det vokser mest".

Så skal du bestemme t for ekstremum af h'(t) og løse ligningen:

$\begin{align*} h''(t)=0 &= 0.38-2\cdot0.00046\cdot h(t) \\ h(t)=\frac{779000}{943+8557 e^{-\frac{19}{50}\,t}} &=\frac{0.38}{0.00092} \\t &= ... \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. april 2025 af ringstedLC

b) Tegn grafen for funktionen og se den logistiske væsk af træet, der vokser mest halvvejs mellem t₀ og tiden for begyndelsen af "Steady State" (sluthøjden).

Svar #5
10. april 2025 af EllaS31

tak, giver god mening. og ja jeg mente "hvad er træets alder ifølge modellen når det vokser hurtigst". Tænkte på om jeg så først skal benytte formel 179 til at omskrive modellen og så derefter finde ekstremum?

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. april 2025 af mathon

$h(t)=\frac{826.087\cdot (1.462285)^t}{1.462285^t+9.07423}$

eller

$h(t)=\frac{826.087}{1+9.07423\cdot e^{-\frac{19}{50}t}}$

$h''(t)=0$

$t=\frac{\ln(9.07423)}{0.38}=5.80379\approx 6$

Svar #7
10. april 2025 af EllaS31

Hvor får du de 826,087 fra??

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. april 2025 af mathon

CAS-beregning

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. april 2025 af mathon

Generalisering

$\normal \begin{array}{llllll} y=\frac{b/a}{1+C\cdot e^{-b\cdot x}}\qquad \quad\!\! a,b,C\in \mathbb{R}_+\qquad \frac{b}{a}=M\\\\ y{\,}'=y\cdot (b-ay)\quad b>ay\qquad y{\,}'>0\\\\ y{\,}''=y{\,}'\cdot(b-2ay)\\\\ y{\,}''=0\Leftrightarrow x=\frac{\ln(C)}{b} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. april 2025 af mathon

eller

$\normal \begin{array}{llllll} y=\frac{M}{1+C\cdot e^{-a\cdot M\cdot x}}\qquad \quad\!\! a,M,C\in \mathbb{R}_+\\\\ y{\,}'=a\cdot y\cdot (M-y)\quad y<M\qquad y{\,}'>0\\\\ y{\,}''=a\cdot y{\,}'\cdot(M-2y)\\\\ y{\,}''=0\Leftrightarrow x=\frac{\ln(C)}{a\cdot M} \end{}$

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.