Matematik

Bevis for grænseværdi

10. maj 2025 af theta2 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Kære Studieportalen,

Jeg har brug for hjælp til at løse en opgave. Jeg skal med epsilon-delta-definitionen bevise, at:

$\frac{sin(log(x))}{log(x)} \rightarrow 1 \ \ for \ \ x\rightarrow1$

Jeg skal altså finde et delta, der kan afparere ethvert epsilon. Med L'Hospitals regel har jeg identificeret grænseværdien som 1. Udfordringen er nu at finde en passende sammenhæng mellem:

$|\frac{sin(log(x))}{log(x)} -1| \ og \ |x-1|$

Men det har vist sig at være en stor udfordring. Jeg er indtil videre kommet frem til dette:

Det gælder for:

$x \in(0,\pi/2)$

At:

$xcos(x) \leq sin(x) \leq x \iff cos(x)-1 \leq \frac{sin(x)}{x}-1\leq0$

Og da sinusfunktionen er ulige, så gælder den samme ulighed også for:

$x \in (-\pi/2,0)$

Dermed er:

$|\frac{sin(x)}{x}-1| \leq |cos(x)-1|$

For disse x. Det gælder derfor for:

$x \in (exp(-\pi/2),exp(\pi/2))$

At:

$|\frac{sin(log(x))}{log(x)}-1| \leq |cos(log(x))-1|$

Men jeg sidder fast her. Er der mon en venlig analysekender, der kan hjælpe mig videre herfra?

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. maj 2025 af peter lind

Du skriver og |x-1| og ikke mere. Og hvad skal der så stå mere

sæt u = log(x) så lyder opgaven

vis at sin(u)/u -> 1 for u->0

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. maj 2025 af mathon

$\begin{array}{llllllll} \textup{Funktionen }f \\ \textup{bestemt ved}\\&&f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\\ \textup{er defineret for}\\&&x\neq 0\\\\ \textup{Endvidere g\ae lder}\\ \textup{for } 0<|x|<\frac{1}{2}\pi\\&& 0<1-\frac{\sin(x)}{x}<1-\cos(x).\\\\ \textup{Da cos er kontinuert}\\\textup{i 0, kan vi til ethvert}\\ \epsilon >0 \textup{ finde et }\delta, \textup{s\aa} \\&& 0<|x|<\delta\Rightarrow 1-\cos(x)<\epsilon.\\\\ \textup{Vi har derfor, at}\\&&0<|x|<\textup{min}\left\{\delta,\frac{1}{2}\pi\right\}\Rightarrow \left|1-\frac{\sin(x)}{x}\right|< \epsilon.\\\\\\ \textup{Vi har dermed bevist, at}\\&&\underset{x\rightarrow 0}{\textup{lim}}\frac{\sin(x)}{x} =1. \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. maj 2025 af peter lind

nemmere

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. maj 2025 af M2023

#0. Jeg har ledt efter et stringent bevis for

$\underset{x \rightarrow0}{lim}\left( \frac{sin(x)}{x} \right)=1\;\;\;(1)$

Problemet er, at alle de, som jeg kan finde, ser ud til at bygge på betragtning af en graf, hvilket ikke kan bruges stringent. Hvis man endelig skal bruge grafbetragtning er det nemmeste nok at bruge nedenstående graf, der viser, at

$\left| \frac{sin(x)}{x}-1 \right|<|x|\;\;\;(2)$

i en omegn af 0. Under denne antagelse kan man bevise (i en lidt forenklet notation)::

$\forall \; \epsilon>0 \; \exists \; \delta>0: \left| \frac{sin(\delta)}{\delta}-1 \right|<\epsilon$

da dette er opfyldt for δ = ε i følge ulighed (2). Dermed er grænseværdi (1) bevist.

Vedhæftet fil:ulighed.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. maj 2025 af M2023

#4. (Lidt bedre måske) man skal bevise...

$(1)\;\;\;\underset{x \rightarrow0}{lim}\left( \frac{sin(x)}{x} \right)=1$

givet...

$(2)\;\;\;\left| \frac{sin(x)}{x}-1 \right|<|x|$

i en omegn af 0. Man har definitionen for grænseværdien af (1)

$\forall \; \epsilon>0 \; \exists \; \delta>0: |x|<\delta \Rightarrow \left| \frac{sin(x)}{x}-1 \right|<\epsilon$

Heri indsættes (2), så man får

$\forall \; \epsilon>0 \; \exists \; \delta>0: \left| \frac{sin(x)}{x}-1 \right|<|x|<\delta \Rightarrow \left| \frac{sin(x)}{x}-1 \right|<\epsilon$

Dette ses umiddelbart at være opfyldt for

$\delta=\epsilon$

Dermed er grænseværdi (1) bevist.

Skriv et svar til: Bevis for grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.