Sætning/definition

Hej hejmedig0

En definition kan ses som en vedtagelse. Definitioner kan derfor ikke være falske. Dog kan en definition være uhensigtsmæssig.

En sætning er (løst sagt) et udsagn der kan vises at være sandt. 

Man fastlægger altså nogle definitioner. Herudfra opstiller man udsagn (sætninger), og dem viser man, ved at bruge definitionerne, er sande (kaldet et bevis).

Eksempel.

Givet en funktion f der er defineret i et punkt x₀.

Hvis f har grænseværdien c i punktet x₀ for x → x₀, så er c = f '(x₀).

Ovenstående er en definition. Man har altså vedtaget at f '(x₀) = c, og man kan derfor ikke vise at det er sandt såvel som man ikke kan vise det modsatte.

-----

Lad f være en funktion, f(x) = a·x.

Man kan derimod vise at udsagnet f '(x) = a er sandt ved at bruge definitionen. 

Udsagnet 

'Hvis en funktion har forskriften f(x) = a·x, så er dens afledede betegnet f '(x) givet ved f '(x) = a', 

er derfor en sætning. 

-----

Som udgangspunkt bør altid følge et bevis med en sætning. Ved en definition følger derimod aldrig et bevis.

'Hvis en funktion har forskriften f(x) = a·x, så er dens afledede betegnet f '(x) givet ved f '(x) = a

Det sidste ' er et sitationstegn, ikke et mærke, men tak for at gøre opmærksom på forvirringen. Det var ikke betænktsomt valgt notation af mig.

# 2
Den må du forklare nærmere:
Givet en funktion f der er defineret i et punkt x₀.
Hvis f har grænseværdien c i punktet x₀ for x → x₀ så er c = f '(x₀)

Tilføjelse til #2.

Definér en funktion f,

f: R → R.

Lad x₀ ∈ Dm f.

Der vælges et variabelt x ∈ Dm f sådan at x > x₀. Hældningen på den sekant der forbinder de to punkter er:

Δy/Δx = (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)       (en brøk af to differenser kaldes for en differenskvotient).

Hvis der findes en grænseværdi c  * for brøken ovenfor når x → x₀, er f differentiabel i punktet (x₀, f(x₀)), og man definerer således

f '(x₀) = c.    **

-----

* I gymnasiet plejer man at sige at grænseværdien findes/eksisterer hvis c er et entydigt tal. Med andre ord; hvis grænseværdien findes, fås samme værdi af c i x₀ for betragtninger af x < x₀ som for betragtninger af x > x₀.

** Der er en smartere definition (i virkeligheden er det samme definition, der blot er formuleret på en anden mere præcis måde), men det må være udenfor rammerne i gymnasiet. Som sagt kan en af to definitioner være mere hensigtsmæssig end den anden; det vil jeg ikke mene er det afgørende her.

-----

Angående svar #5.

Du har naturligvis ret. Jeg må indrømme at jeg nogle gange synes at det er svært at holde det stringent og samtidig undgå at overdynge med så megen information (og i visse tilfælde notation), at modtageren finder det uoverskueligt fra start af. Der er for mig at se stor forskel på kravene til stringensen i et svar hvis formål er at hjælpe med at forklare forskellen imellem to begreber og en matematikbog. I dette tilfælde valgte jeg at gøre det mindre formelt, men med den fordel at det forhåbentligt blev mere spiseligt. Med det sagt er det aldrig min mening at gøre det decideret upræcist, og det var måske tilfældet her.

# 6
Du skrev i # 2
"Hvis f har grænseværdien c i punktet x₀ ..."
hvor der skulle have stået
Hvis f ' har grænseværdien c i punktet x₀
Derfor denne indsigelse # 5.
   

#7

Selvfølgelig.... ,:)