Matematik

Differentialligninger

23. oktober 2025 af Hansen0708 - Niveau: A-niveau

Hej

jeg har fået denne opgave (Linket under)

Jeg er lidt i tvivl om hvordan jeg skal løse den (Jeg har maple til rådighed)

Jeg har gjort et forsøg her - men opgave b ender i et negativt tal, hvilket ikke giver mening

Opgaven

Jeg skal først finde a og bruger derfor den første betingelse til at finde den fuldstændige løsning hvor a mangler
with(Gym);
dsolve([diff(y(x), x) = a*(85 - y(x)), y(3) = 13]);
y(x) = 85 - 72 exp(-a (x - 3))

Nu finde jeg a ved at sætte anden betingelse ind
solve(29.8 = 85 - 72*exp(-a*(10 - 3)));
0.03795759510

Jeg indsætter nu a i funktionen for den fuldstændige løsning
"y(x) = 85 - 72*exp(-0.038*(x - 3))"

b)
solve(2.5 = 85 - 72*exp(-0.038*(x - 3)));
-0.5824256401

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2025-10-23 kl. 16.31.29.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. oktober 2025 af SuneChr

Jeg får:
a) f (x) = ~~- 65868,9893332302·e^{- 0,6818756919x} + 85~~
b) x = ~~14,36...~~

Svar #2
23. oktober 2025 af Hansen0708

Hvordan er du nået frem til det, for jeg synes ikke jeg kan få det til at fungere.

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. oktober 2025 af SuneChr

# 1 er forhastet og forkastet.
Her er et bedre forslag:
y(x) = ce^{- ax} + 85 og
y'(x) = -ace^{- ax}
hvor a = 0,0380 c = - 80,6839 (4 dec.)
Sætter vi y'(x) = 2,5 får vi x = 5,34

Svar #4
24. oktober 2025 af Hansen0708

Tror måske jeg er lidt forvirret over hvilken løsningsformel som skal bruges

Er det løsningsformlen forskudt eksponentiel vækst.

Der ligger en oversigt under

Vedhæftet fil:Runes oversigt over differentialligninger.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. oktober 2025 af SuneChr

Det er en flot lille formelsamling, du viser.
Hvis vi kigger på den øverste ligning i rubrikken "forskudt eksponentiel vækst"
og erstatter b med 85a (a og b er begge konstanter), får vi ligningen for y(x) som vist i # 3.

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. oktober 2025 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #7
25. oktober 2025 af mathon

Tror måske jeg er lidt forvirret over hvilken løsningsformel som skal bruges.

Du har:
$\begin{array}{llllll}&& y{\,}'=a\cdot \left(85-y \right )\\\\&& y{\,}+a\cdot y=85a\qquad \textup{som med "panserformlen giver:"}\\\\&& y=C\cdot e^{-ax}+85\\\\ \textup{hvoraf de to betingelser:}\\\\&& 13.0=C\cdot e^{-a\cdot 3}+85\\\\&& 29.8=C\cdot e^{-a\cdot 10}+85\\\\ \textup{dvs}\\&& -72=C\cdot e^{-3a}\\\\&& -55.2=C\cdot e^{-10a}\\\\&& \frac{-72}{-55.2}=e^{7a}\\\\&& a=\frac{\ln(\frac{-72}{-55.2})}{7}=0.037958\\\\ \textup{hvoraf:}\\&& y=C\cdot e^{-0.037958\cdot x} + 85\\\\ \textup{og}\\&&29.8=C\cdot e^{-0.037958\cdot 10} + 85\\\\&& C=\frac{29.8-85}{e^{-0.037958\cdot 10}}=-80.6842\\\\\\&& f(x)=-80.6842\cdot e^{-0.037958\cdot x}+85 \end{}$

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.