Matematik

Differentialligning Hjælp - Vandvanskeligheder

08. november 2025 af Denstuderende25 - Niveau: A-niveau

Hej SP

Jeg sidder med en opgave, hvor jeg ikke helt ved om jeg har forstået og den beregnet den korrekt.

Opgaven er følgende:

Den nyansatte bademester i Svigersted har problemer med at få tømt badebassinet inden sidste bus er kørt, så han henvender sig til en HTX-elev i familien og spørger om råd. Familiemedlemmet har netop lært om differentialligninger og ved derfor at badevandshøjden h´s ændring pr. tidsenhed(sekund) kan beskrives ved:
$\frac{dh}{dt} = \frac{-\mu \cdot f \cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{A}$

hvor µ er en udløbskonstant bestemt af udformningen af bund-udløbsventilen, hvis tværsnitsareal betegnes f og angives i m². Bassinets fladeareal er A og g er tyngdeaccelerationen. Bassinets mål er 8 gange 25 meter og µ kan sættes til 1,34.
Lidt forenklet kan ovenstående differentialligning skrives som: $\frac{dh}{dt} = k\cdot\sqrt{h}$ (2)

Jeg har beregnet værdien k til at være -0.009328147767 N/kg (eller -9.3281478*10⁴)

Jeg har brug for hjælp til opgave 2, som lyder:

Bestem nu en forskrift for h som funktion af tiden, når den maksimale vanddybde er 2 meter. Med andre ord: Løs ligning (2). Løsningen skal foretages uden brug af CAS.

Nedenstående vedhæftede viser mit forsøg på løsning af opgaven. Har jeg beregnet det rigtigt indtil videre?
Hvis ja, hvordan fortsætter jeg så, hvis der er andet der skal beregnes?
Gerne med forklaringer imellem.

På forhånd tak!

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2025-11-08 151228.png

Svar #1
08. november 2025 af Denstuderende25

Fortsættelse af beregning: (se vedhæftede skærmbillede 2)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2025-11-08 151346.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. november 2025 af SuneChr

Mangler vi ikke bundudløbsventilens tværsnitsareal f at få at vide, før vi kan beregne konstanten k?
Vi kender både μ og A, men mangler at kende f.

Svar #3
08. november 2025 af Denstuderende25

#2
Mangler vi ikke bundudløbsventilens tværsnitsareal f at få at vide, før vi kan beregne konstanten k?
Vi kender både μ og A, men mangler at kende f.

Ja. Det har du ret i.

Jeg har beregnet udløbsventilens tværsnitsareal f til at være 0.3141592654 m²

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. november 2025 af SuneChr

Hvordan har du fået dette resultat for f ?

Svar #5
08. november 2025 af Denstuderende25

#4
Hvordan har du fået dette resultat for f ?

Se vedhæftede skærmbillede

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2025-11-08 195859.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. november 2025 af ringstedLC

#3
Jeg har beregnet udløbsventilens tværsnitsareal f til at være 0.3141592654 m²

$\begin{align*} f &= \pi\,r^2 \\ f &= \pi\cdot {\color{Red}\bigl(0.1\,\textup{m}\bigr)}^2=\pi\cdot 0.01\,\textup{m}^2 =\frac{\pi}{100}\,\textup{m}^2\approx0.03142\,\textup{m}^2 \end{}$

Men brug gerne den eksakte værdi til beregning af forskriften.

Svar #7
08. november 2025 af Denstuderende25

Men har jeg så beregnet forskriften korrekt eller mangler der noget? (skærmbillede 2)

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. november 2025 af ringstedLC

#7 Forskriften kan jo ikke være rigtig, når din f, og dermed din k, ikke er rigtig.

Desuden bliver grafen for din forskrift en "sur" parabel med toppunkt i (0,2)*

Det vil sige, at udløbshast. starter med at være "0" og derefter øges, da den numeriske værdi af hældningen øges.

Tænk lige over om vandet i udløbsventilen virkelig vil opføre sig sådan.

* Du kvadrerer første leds tæller forkert og "glemmer" c i andet leds tæller.

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. november 2025 af ringstedLC

Din tekst på billede 1:

- "Vi udregner udtrykket og kan derefter beregne konstanten c", men hvordan opstår den ligning?

- "Vi skal isolere h... og så kan vi finde c ved hjælp af ...", men har du ikke lige gjort dét?

og teksten i første linje på billede 2 giver da heller ingen mening, da du i næste linje blot kvadrerer den toledede størrelse.

Efter min mening skriver du generelt for meget og noget rodet tekst som fx i den sidste linje på bill. 2. Skriv hellere noget "matematik".

Forslag:

$\begin{align*} h(t) &= ...+\frac{c^{\,2}}{4} \\ h(t)&= ...+\frac{(2\sqrt 2)^2}{4}= ...+\frac{4\cdot 2}{4}=...+2 \end{}$

eller:

$\begin{align*} h(t) &=...+\frac{c^{\,2}}{4} \\ h(t) &= ...+\frac{\sqrt 8^{\,2}}{4}= ...+\frac{8}{4}=...+2 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. november 2025 af SuneChr

Udløbsventilens tværsnitsareal f er beregnet ved πr² ,
men hvor i opgaven og i det vedhæftede i # 0 og # 1 ser vi, hvad r er?
Jeg ser nu i # 5 det vedhæftede, hvor diameteren er 20 cm.
Burde have været vedhæftet i begyndelsen.
Nåh, men OK.

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. november 2025 af ringstedLC

#0
Jeg har beregnet værdien k til at være -0.009328147767 N/kg (eller -9.3281478*10⁴)

1: Enheden er ikke rigtig:

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=k\cdot\sqrt{h} \Rightarrow \biggl[\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}\biggr]=\frac{\[\mathrm{d}h]}{\[\mathrm{d}t]} &= \[k]\cdot \bigl[\sqrt{h}\,\bigr] \\ \[k] &= \frac{\[\mathrm{d}h]}{\[\mathrm{d}t]\cdot\bigl[\sqrt{h}\,\bigr]} \\ \[k] &= \frac{\textup{m}}{\textup{s}\cdot \sqrt{\textup{m}}}=\frac{\sqrt{\textup{m}}}{\textup{s}} \;{\color{Red}\neq}\;\frac{\textup{N}}{\textup{kg}} \end{}$

Diff.-ligningen beskriver en udløbshastighed, - ikke en acc. (N/kg = m/s²):

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=k\cdot\sqrt{h}=\frac{\mu f\sqrt{2\,g}}{A}\cdot\sqrt{h} \Rightarrow \biggl[\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}\biggr] &= \frac{\[f]\cdot\bigl[\sqrt{g}\bigr]}{\[A]}\cdot \bigl[\sqrt{h}\,\bigr] \\ \frac{\textup{m}}{\textup{s}} &= \frac{ \textup{m}^2 \cdot \sqrt{ \frac{ \textup{m} }{ \textup{s}^2} } } {\textup{m}^2} \cdot \sqrt{\textup{m}} =\frac{\sqrt{ \textup{m} } } {\sqrt{\textup{s}^2}} \cdot \sqrt{\textup{m}} =\frac{\textup{m}}{\textup{s}} \end{}$

$\begin{align*}-0.0093... =-9.3...\cdot 10^{\color{Red}-3} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. november 2025 af ringstedLC

Løsning uden CAS (som opgaveteksten forlanger):

$\begin{align*} h(t)=\biggl(\frac{k\,t}{2}+\frac{c}{2}\biggr)^2 &= \biggl(\frac{k\,t}{2}\biggr)^{\!2}+2\cdot\frac{k\,t\,{\color{Red}c}}{2\cdot2}+\biggl(\frac{c}{2}\biggr)^{\!2} \\ &= \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^{\!2}\,t^2+\frac{k\,2\sqrt{2}}{2}\,t+\frac{\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^{\!2}}{4} \\ h(t) &= \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^{\!2}\,t^2+k\sqrt{2}\,t+2 \\ \\ k &= \frac{-1.34\,\pi\,\sqrt{2\cdot 9.82}}{100\cdot 8\cdot25} = \frac{-1.34\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt{9.82}}{2\cdot 10^4} \\ h(t) &= \frac{(-1.34\,\pi)^2\cdot2\cdot9.82}{2^2\cdot\bigl(2\cdot10^4\bigr)^{\!2}}\;t^2-\frac{1.34\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt{9.82}}{2\cdot10^4}\sqrt{2}\;t+2 \\ h(t) &= \frac{(1.34\,\pi)^2\cdot9.82}{8\cdot10^8}\;t^2-\frac{1.34\,\pi\,\sqrt{9.82}}{10^4}\;t+2\;,\;{\color{Red}t\geq0} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. november 2025 af ringstedLC

Kontrol (≈ gøre prøve):

$\begin{align*} h=\biggl(\frac{k\,t}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}\biggr)^{\!2} =\biggl(\frac{k\,t}{2}+\sqrt{2}\biggr)^{\!2} &= \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^{\!2}t^2+k\,\sqrt{2}\,t+2 \\ \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} &= k\cdot\sqrt{h}=\sqrt{\biggl(\frac{k\,t}{2}+\sqrt{2}\biggr)^{\!2}} \\ 2\cdot\biggl(\frac{k}{2}\biggr)^{\!2}t+k\,\sqrt{2} &= k\cdot\biggl(\frac{k\,t}{2}+\sqrt{2}\biggr) \\ \frac{2\,k^2}{2^2}\,t+k\,\sqrt{2} &= k\cdot\biggl(\frac{k\,t}{2}+\sqrt{2}\biggr) \\ k\cdot\biggl(\frac{k}{2}\,t+\sqrt{2}\biggr) &= k\cdot\biggl(\frac{k\,t}{2}+\sqrt{2}\biggr) \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
09. november 2025 af ringstedLC

Yderligere til bill. 1:

$\begin{align*} 2=\frac{c^2}{4}\qquad \Rightarrow c^2 &= 8 \\ c &= {\color{Red}\pm}\,\sqrt{8}=\pm\,2\,\sqrt{2} \end{}$

de så kræver nogle tilføjelser til #12:

$\begin{align*} h(t)=\biggl(\frac{k\,t}{2}+\frac{c}{2}\biggr)^2 &= \biggl(\frac{k\,t}{2}\biggr)^{\!2}+2\cdot\frac{k\,t\,{\color{Red}c}}{2\cdot2}+\biggl(\frac{c}{2}\biggr)^{\!2} \\ &= \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^{\!2}\,t^2+\frac{k\,c}{2}\,t+\frac{c^{\,2}}{4} \\ \Rightarrow h'(t) &= 2\cdot\biggl(\frac{k}{2}\biggr)^{\!2}\,t+\frac{k\,c}{2} \\ h'(0)=\frac{k\,c}{2}<0 &\;\wedge\;k<0 \\ \Rightarrow c>0 &\;\wedge\;c=\pm\,2\sqrt{2}\;\Rightarrow c=2\sqrt{2} \\ h(t) &= \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^{\!2}\,t^2+\frac{k\,2\sqrt{2}}{2}\,t+\frac{\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^{\!2}}{4} \\ h(t) &= \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^{\!2}\,t^2+k\sqrt{2}\,t+2 \\ \\ k &= \frac{-1.34\,\pi\,\sqrt{2\cdot 9.82}}{100\cdot 8\cdot25} = \frac{-1.34\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt{9.82}}{2\cdot 10^4} \\ h(t) &= \frac{(-1.34\,\pi)^2\cdot2\cdot9.82}{2^2\cdot\bigl(2\cdot10^4\bigr)^{\!2}}\;t^2-\frac{1.34\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt{9.82}}{2\cdot10^4}\sqrt{2}\;t+2 \\ h(t) &= \frac{(1.34\,\pi)^2\cdot9.82}{8\cdot10^8}\;t^2-\frac{1.34\,\pi\,\sqrt{9.82}}{10^4}\;t+2\;,\;{\color{Red}t\geq0} \end{}$

Altså samme forskrift, men nu mere fuldstændigt udledt.

Svar #15
09. november 2025 af Denstuderende25

Tusinde tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Differentialligning Hjælp - Vandvanskeligheder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.