Side 2 - Geometri og lineære ligningssystemer

Eller er der en anden metode?

@miesim1

Jeg har lavet opgaverne til sættet, hvis du skyder en besked kan vi snakke om det, hvis det er. (Og Soeffi har ret)

@Petersenp

Jeg har sent en pb. - og tak :)

#0

Hvis du adderer de to første ligninger, får du en ligning, hvis venstre side er identisk med venstresiden i den fjerde ligning. Heraf følger, at højresiderne, som er a og a³ også er lige store. Det kræver, at a er -1, 0 eller 1. Du kan herrefter udelade den fjerde ligning i løsningen, og nøjes med det simplere tilfælde med tre ligninger med tre ubekendte. Du skal så indsætte de tre a-værdier 1 ad gangen og se på løsningen af de tre ligninger.

Hvordan påviser i a's værdi i opgave 1.b?

 #19 Du opskriver matricen:

Du har, at det(matrixa) = 0 ⇒ a³·(a-1)²·(a+1)¹ = 0. Denne ligning har tre rødder:

a = 0, som er tre-dobbeltrod (giver fælles plan som alle planer opfylder, dog gælder at a2 er sand for alle punkter i rummet og ikke kun et plan)

a = 1, som er dobbeltrod (dette viser, at alle planer har en linje til fælles)

a = -1, som er enkeltrod (viser, at alle planer har et punkt til fælles)

og dette er den eneste måde hvorpå man kan beregne det?

Hej jeg sidder fast i opgave b, jeg har forsøgt mig med at finde en retningsvektor og lave parameterfremstillingen sådan men det gik ikke. Så fandt jeg denne tråd og kunne se at det heller ikke var sådan man skulle gøre. Mit spørgsmål er så, hvordan gør man? For der er rigtig mange svar i denne tråd men hvilket skal bruges til at bestemme parameterfremstillingen?

#28 Igen lidt pr. intuition...

Du indsætter a = 1 i matricen. Dernæst reducerer du matricen. Dernæst tager du de to vektorer, som du får af de tre første koefficenter i række 1 og række 2. Disse er normalvektorer til to planer, der skærer hinanden i linjen. Nomalvektorernes krydsprodukt er en retningsvektor for skæringslinjen. 

Du mangler nu at finde et punkt på linjen. Af række 2 ser du at y = 0 er y-koordianten. I række 1 vælger du x = 0, som giver z = 1. 

I alt får man l: (x,y,z) = (0,0,1) + t·(-1,0,1), t ∈ R.

Tak, det gør jeg :)

hvorfor er de 2 førster rækker normalvektoren til planen?

Kig på teorien for rang. Du kan læse om det i e-Note 2 om Lineære ligningssystemer :)

#31 Husk at der er tale om fire ligninger med fire ubekendte: a, x, y og z.

Billedet viser 4 muligheder: (1) løsningen er et plan, (2) en linje, (3) et punkt og (4) der er ingen løsning.

Der findes også en femte mulighed: alle punkter i rummet er en løsning. Den optræder, når alle koefficienter og højresider er 0, og bruges sjældent, fordi den regnes for triviel.

1) I tilfældet løsningen er en plan kan ligningssystemet reduceres til en række, der er ligningen for et plan. På billedet er planen x = 0.

2) I tilfældet en ret linje er der to rækker med et indhold forskelligt fra fire nuller. De to øverste rækker på billedet for den reducerede matrix, viser at løsningen er skæringen mellem følgende to planer:

1·x + 0·y + 1·z = 1 (med normalvektoren [1,0,1]) og 0·x + 1·y + 0· z = 0 (med normalvektoren [0,1,0]).

3) I tilfældet et punkt er tre rækker forskellige fra lutter nuller. Løsningen er skæringen mellem en linje og et plan dvs. et punkt.

4) Ingen løsning. I alle tilfælde, hvor a ikke er lig med nogen af værdierne -1,0,1 vil der ikke være nogen løsningen og matricen kan reduceres til en enhedsmatrix. Den sidste række i denne matrix vil svare til ligningen: 0·x + 0·y + 0·z = 1, hvilket er forkert for alle (x,y,z).

Hvorfor vælger I ikke, at se på den enkle løsning? Jeg har i #24 gjort opmærksom på ikke alene, at problemet kan reducers til 3 planer i stedet for 4, men at det samtidig kan vises, at a kun kan antage én af værdierne -1, 0 eller 1.

Hvorfor gør I jer livet besværligt ved at fortsætte med at regne på 4 ligninger?

Hvorrdan får i aflæst vektoren til-1,0,1?

#35 

Se #29; det er et krydsprodukt.

*hov mente (0,0,1)

#37

y-værdien følger af anden række (y = 0). Herefter er du nød til at vælge en x-værdi i første række (x + z = 1), f.eks. x = 0. Dette giver z = 1. 

Hvis det ikke er krævende, vil du så forklare opg c trin for trin - er utrolig forvirret nu! ...