Matematik

Hældningen til en vendetangent

09. december 2023 af MikeCharlie - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har lige været til skriftlig MatA eksamen og er stødt på denne opgave:

En funktion $f$ er bestemt ved $f(x)=x^{3}-9x^{2}+k\cdot{x}+2$ hvor $k$ er et tal.

a) Bestem de værdier af $k$ , hvor $f$ er en voksende funktion.

Jeg har svaret $k>27$ , men min lærer har svaret $k\geq 27$ , hvilket undrer mig lidt, da når $k=27$ , har $f$ en vendetangent. Hældningen til en vendetangent er mig bekendt $0$ , dvs. $f'=0$ når $k=27 \Rightarrow f$ ikke er voksende, men vandret. Det er måske en definitionssag ("her er ikke noget at forstå, blot at acceptere")?

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. december 2023 af M2023

#0. Se eventuelt: https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2081758.

Svar #2
09. december 2023 af MikeCharlie

Der skrives $f(x)\nearrow\: \Rightarrow\:f'(x)\geq 0\:\forall\:{x} \in{\mathbb{R}}$

men hvad er hældningen når $f'(x)=0$ ?

Kan mærke jeg bliver lidt frustreret da jeg 1) hører divergerende forklaringer 2) muligvis trækkes i points givetvis jeg tager fejl og dermed har besvaret opgaven forkert.

Brugbart svar (1)

Svar #3
09. december 2023 af mathon

Vendetangentens hældning
er bestemt ved:
$\small \begin{array}{llllll}&& f{\, }''(x)=0\\\textup{dvs}\\\\&& 6x-18=0\\\\&&x=3\\\\ \textup{vendetangentens}\\ \textup{ligning:}\\&&y=-x+29\qquad \textup{(for k=27)} \end{}$

Svar #4
09. december 2023 af MikeCharlie

R.I.P.

Brugbart svar (1)

Svar #5
09. december 2023 af ringstedLC

f har endda en vandret vendetangent for k = 27, hvilket gør f voksende for alle værdier af x, da en vendetangent skærer/krydser grafen.

$\begin{align*} f'(x)=3x^2-18x^2+27 &= 0 \\ x^2-6x+9 &= 0\Rightarrow x=3 \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f'(x\leq 3) \geq 0 \\f'(x\geq 3) \geq 0\end{matrix}\right. \\ &\Rightarrow f(x) \nearrow \;,\,x\in \mathbb{R} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. december 2023 af mathon

korrektion:
Vendetangentens hældning
er bestemt ved:
$\small \small \begin{array}{llllll}&& f{\, }''(x)=0\\\textup{dvs}\\\\&& 6x-18=0\\\\&&x=3\\\\ \textup{vendetangentens}\\ \textup{ligning:}\\&&y=29\qquad \textup{(for k=27)} \end{}$

Svar #7
09. december 2023 af MikeCharlie

Jeg har måske engang hørt at vendetangentens hældning er bestemt ved $f''(x)=0$ , men det kunne jeg ikke huske til eksamen.

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. december 2023 af M2023

#7. Vendetangentens x-værdi, x₀, er bestemt ved f''(x₀) = 0. Hældningen af vendetangenten er bestemt ved f'(x₀).

f''(x) = 6x - 18. Det vil sige: x₀ = 3 uafhængigt af k. f'(3) = 3·3² - 18·3 + k = k - 27.

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. december 2023 af Eksperimentalfysikeren

En funktion f er voksende, hvis der for vilkårlige tal a,b gælder at a≤b ⇒f(a)≤f(b)

Hvis det for alle a,b i definitionsmængden desuden gælder af a<b ⇒ f(a)<f(b), siges funktionen at være strængt voksende.

En funktion f(x) = x³ har vandret vendetangent i x=0. Den er alligevel strængt voksende.

Skriv et svar til: Hældningen til en vendetangent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.