Matematik
Areal af en ellipse
25. maj 2005 af
TemporalFlux (Slettet)
Hey,
Skal finde arealet af superellipsen, 1. kvadrant i intervallet 0 til 6. Den lyder således:
1 = (x/a)^n + (y/b)^n
Min ser således ud:
1 = (x/6)^2.5 + (y/3)^2.5
Jeg ved man kan lave sådan en om til en alm. funktion:
y = b * kvrd(1-(x/a)^n)
Men i dette tilfælde går den ikke, buen er ikke den samme. Dog, hvis n = 2 så passer den perfekt. Men med 2.5 går den ik...
Så vil jeg lige spørge om nogen kunne hjælpe her? Ved ikke rigtigt, hvordan jeg skal finde det areal der...så hvis I har nogle ideer må I gerne lige skrive!
På forhånd tak!
Skal finde arealet af superellipsen, 1. kvadrant i intervallet 0 til 6. Den lyder således:
1 = (x/a)^n + (y/b)^n
Min ser således ud:
1 = (x/6)^2.5 + (y/3)^2.5
Jeg ved man kan lave sådan en om til en alm. funktion:
y = b * kvrd(1-(x/a)^n)
Men i dette tilfælde går den ikke, buen er ikke den samme. Dog, hvis n = 2 så passer den perfekt. Men med 2.5 går den ik...
Så vil jeg lige spørge om nogen kunne hjælpe her? Ved ikke rigtigt, hvordan jeg skal finde det areal der...så hvis I har nogle ideer må I gerne lige skrive!
På forhånd tak!
Svar #1
25. maj 2005 af Epsilon (Slettet)
Givet restriktionen af superellipsen
|x/6|^2.5 + |y/3|^2.5 = 1 (*)
til 1.kvadrant;
(x/6)^2.5 + (y/3)^2.5 = 1
Se i øvrigt
http://mathworld.wolfram.com/Superellipse.html
for nogle smukke eksempler på superellipser.
Vi skal finde arealet af det område, som superellipsen (*) sammen med koordinatakserne afgrænser i 1.kvadrant. Vi ser, at
(y/6)^2.5 = 1 - (x/6)^2.5
hvoraf
y = 6*[1 - (x/6)^2.5]^(1/2.5)
Sætter vi y = f(x), har vi f(6) = 0, og for 0 =
M = {(x,y)| 0 =
kan derfor beregnes som det bestemte integral;
6
int[f(x)]dx (**)
0
Se i øvrigt formel (4) i ovennævnte link. Integralet (**) ovenfor er det kvarte af arealet af hele superellipsen ifølge linket; helt som ventet da vi betragter en fjerdedel af superellipsen.
Integralet (**) kan evalueres numerisk på en grafregner. Gør det, og forsøg IKKE at integrere funktionen f ved håndkraft!
Til sammenligning er det eksakte resultat
A(M) =
(1/16)^(1/5)*18sqrt(pi)*Gamma(1.40)/[Gamma(1.90)/0.90]
som tilnærmet evalueres til
A(M) ~ 15,21408
'Gamma' betegner Gammafunktionen. Approksimative (tilnærmede) værdier af Gammafunktionen kan findes ved opslag i et tilstrækkelig avanceret matematisk tabelværk.
//Singularity
|x/6|^2.5 + |y/3|^2.5 = 1 (*)
til 1.kvadrant;
(x/6)^2.5 + (y/3)^2.5 = 1
Se i øvrigt
http://mathworld.wolfram.com/Superellipse.html
for nogle smukke eksempler på superellipser.
Vi skal finde arealet af det område, som superellipsen (*) sammen med koordinatakserne afgrænser i 1.kvadrant. Vi ser, at
(y/6)^2.5 = 1 - (x/6)^2.5
hvoraf
y = 6*[1 - (x/6)^2.5]^(1/2.5)
Sætter vi y = f(x), har vi f(6) = 0, og for 0 =
M = {(x,y)| 0 =
kan derfor beregnes som det bestemte integral;
6
int[f(x)]dx (**)
0
Se i øvrigt formel (4) i ovennævnte link. Integralet (**) ovenfor er det kvarte af arealet af hele superellipsen ifølge linket; helt som ventet da vi betragter en fjerdedel af superellipsen.
Integralet (**) kan evalueres numerisk på en grafregner. Gør det, og forsøg IKKE at integrere funktionen f ved håndkraft!
Til sammenligning er det eksakte resultat
A(M) =
(1/16)^(1/5)*18sqrt(pi)*Gamma(1.40)/[Gamma(1.90)/0.90]
som tilnærmet evalueres til
A(M) ~ 15,21408
'Gamma' betegner Gammafunktionen. Approksimative (tilnærmede) værdier af Gammafunktionen kan findes ved opslag i et tilstrækkelig avanceret matematisk tabelværk.
//Singularity
Svar #2
26. maj 2005 af TemporalFlux (Slettet)
Hey,
MANGE tak for dit svar. Skal lige ha' det gnasket igennem nogle gange, men jeg prøvede hurtigt at få Graphmatica til at finde arealet og resultatet blir det samme, som det du kommer frem til så det er bare kanon.
Tak, tak. Jeg vender måske tilbage med et nyt spørgsmål lidt senere :)
MANGE tak for dit svar. Skal lige ha' det gnasket igennem nogle gange, men jeg prøvede hurtigt at få Graphmatica til at finde arealet og resultatet blir det samme, som det du kommer frem til så det er bare kanon.
Tak, tak. Jeg vender måske tilbage med et nyt spørgsmål lidt senere :)
Skriv et svar til: Areal af en ellipse
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.