Trigonometriske ligninger

Mener du

Nr.1: 2·cos²(v) + 3·sin(v) - 3 = 0 ?

Så er det klart, at det er en 2.-gradsligning i sin(v), da cos²(v) + sin²(v) = 1 .

Tilsvarende er Lign Nr.2 en maskeret 2.-gradsligning i cos(x) .

Ja, det er det jeg mener! ;)

#2

Nr.1 omskrives da til ligningen

2·sin²(v) -3·sin(v) + 1 = 0

med rødderne sin(v) = 2 eller sin(v) = 1 , hvor den første ligning må forkastes. Løs nu ligningen sin(v) = 1 .

Men hvordan kan det være, at cos²(v) er ændret til sin²(v)?

Og.. Hvorfor skal den første ligning (    sin(v) = 2    ) forkastes?

#4

Man benytter jo, at cos²(v) = 1 - sin²(v) , hvorfor den oprindelige ligning bliver

2·(1 - sin²(v)) + 3·sin(v) - 3 = 0 , eller

2·sin²(v) -3·sin(v) + 1 = 0

Løsningen sin(v) = 2 må forkastes, da det for alle reelle v gælder, at   -1 ≤ sin(v) ≤ 1 . Ligningen sin(v) = 2 har derfor ingen reelle løsninger.

Lign Nr.2 omskrives tilsvarende til

2·cos²(x) + 5·cos(x) + 2 = 0 ,

der har to rødder, hvoraf den ene må forkastes.