Hjælp til fuldstændig løsning til homogent ligningssystem

Ligningssystemet har en entydig løsning, når det(A) ≠ 0, så man skal løse uligheden

2t² -3t +1 ≠ 0 .

Oka, tak for så hurtigt et svar :)

Det er jeg godt med på :) den entydige løsning er at t = 1 og t = 1/2, men self vigtig lige at nævne at det skyldes det(A) ≠ 0.

Kan du også hjælpe mig med at finde den fuldstændige løsning til systemet for alle værdier af t?

Umiddelbart tænker jeg at jeg så må skulle indsætte hhv. 1 og 1/2 i matricen og så reducerer matricen.... ved ikke om det er noget i den stil?

ulighed siger du?

bemærker lige nu at der står forskellige fra nul i 2t^2-3t+1≠0, hmm... hvordan løser jeg en ulighed?

#2

Nej, man skal netop undgå t = 1 og t = 1/2 for at det(A) ≠ 0 .

det(A) ≠ 0 ⇔ t ∈ R \ {1 , 1/2}

Drejer det sig om løsning af lineære ligningssystemer, eller lineære differentialligninger?

#3

Polynomiet t² -3t +1 er lig med nul netop for de to rødder i polynomiet, og det er ≠ 0 for ethvert t, der ikke er rod i polynomiet.

Det drejer sig om løsning af lineære ligningssystemer.

hey både når t = 1 og t = 1/2, så får vi naturligvis at ligningen 2t^2-3t+1 = 0, så disse er ikke løsninger. Betyder det så at den fuldstændige løsning er når t≠1 og t≠2 ?

Eller hvordan skal man angive sådan en fuldstændig løsning?

#6

Hvis det lineære ligingssystem er homogent, har det formen

A x = 0 , og hvis det(A) ≠ 0, er løsningen

x = A^-1 0 = 0

Det bliver så mere interessant, hvis det(A) = 0 , idet man får visse underrum som løsninger.

oka. håber jeg har forstået det her rigtig så.

Vi får jo at vide at ligningssystemet er homogent, så det er vel ax=0, vi skal have fat i. Men vi har lige kigget på løsningen hvor det(A)≠0. modsiger det ikke lige hinanden eller?

Du siger det som om at ligningssytemet ikke kan være både homogent og have at det(A)≠0, er det korrekt forstået.

Ydermere, da ligningesystemet er homogent, skal jeg så finde den vektor x, der upfylder at Ax=0?

#8

Når det(A) ≠ 0 er der netop een løsning, nemlig x = 0 . Når det(A) = 0, er der enten ingen eller uendeligt mange løsninger, men da x = 0 klart er en løsning, er der uendeligt mange løsninger.

Nu har jeg prøvet at stille det op som en matrice og så løse ligningsystemt

1  1  1         1    1      1         1      1     1       1    1    1            1   0   2t-1

1  2t  1   ≈   0  2t-1   0   ≈    0   2t-1   0   ≈   0   1   2-2t   ≈   0   1   2-2t

1  1  t          1     1     t           0     0    t-1        0    0    t-1         0   0   t-1

Vil det så sige at x+z(2t-1)=0, y+z(2-2t)=0 og z(t-1)=0 der den fuldstændige løsning?

Eller har jeg forstået det her helt forkert.

Ved virkelig ikke hvad det er jeg skal forsøge at finde når der står at man skal finde de fuldstændige løsning?

men hvis der er uendeligt mange løsninger, skal jeg vel have fat i en løsning med fri variable eller? må t da godt indgå som en fri varible forskellig fra 1 og 1/2 ?

#10

Hvis det(A) ≠ 0, altså hvis t ≠ 1 og t ≠ 1/2, er løsningen (x,y,z) = (0,0,0).

Hvis t = 1, er matricen

1  1  1
1  2  1
1  1  1

og det ses, at den sidste ligning er overflødig, dvs systemet er underbestemt.

Af

x + y + z = 0
x +2y +z = 0

finder man y = 0 , sammen med x + z = 0 , dvs linien i planen y = 0 med ligningen x + z = 0 .

Hvis t = 1/2, er matricen

1  1  1
1  1  1
1  1  1/2 ,

og det ses, at den midsterste ligning er overflødig, dvs

x + y + z = 0
x + y + z/2 = 0 , hvoraf fås

z = 0 sammen med x + y = 0, dvs linien i planen z = 0 med ligningen x + y = 0 .

Alletiders, nu tror jeg jeg er ved at forstå det.

Så vi forsøger at løse matricerne for hvor af de to værdier af t, man da vi ved hver af dem får en overflødig linje, har vi 2 ligninger med 3 ubekendte ved dem begge.

Vi kan derfor ikke "gøre det kortere" nu, og de 4 ligninger vi har stående tilbage, må da udgøre den fuldstændige løsning.

Er det korrekt?

Du skal finde den fuldstændige løsning for hver af de to t værdier t=1/2 og t=1, ved at indsætte disse i matricen og reducere. Så mangler du løsningen for alle andre værdier af t, men her ved du at løsningen er entydig og man ser let at x=0 (x er en vektor) er en løsning til Ax=0, og da løsningen er entydig, er den fuldstændige løsning x=0 for alle andre værdier af t.

Hej SP,

Gammel tråd, men jeg søger hjælp til denne opgave. Er der nogle der kan fortælle mig hvad man skal gøre. For jeg synes ikke tråden giver et egentlig svar :)

 #15 Hej SP, Gammel tråd, men jeg søger hjælp til denne opgave. Er der nogle der kan fortælle mig hvad man skal gøre. For jeg synes ikke tråden giver et egentlig svar :)

#1 Ligningssystemet har en entydig løsning, når det(A) ≠ 0, så man skal løse uligheden

2t² -3t +1 ≠ 0 .