Fysik
optimeringsopgave
Opgaveteksten:
A projectile is thrown from a point P. It moves in such a way that its distance from P is always increasing. Find the maximum angle above the horizontal with which the projectile could have been throw. Ignore air resistance.
Jeg har tænkt over opgaven men er desværre ikke kommet nær nogen løsningen. Min eneste idé er:
Afstanden, D, er lig kvdr(x(t)^2 + y(t)^2) = D, og man kunne så måske differentiere dette udtryk og se, hvornår D'>0. Men det virker lidt langt ude i forhold til det KÆMPE udtryk man får.
Så hvad kan man gøre? I må gerne bare give hints, hvis I synes jeg selv skal tænke over det..
Svar #1
16. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
Der er tale om et skråt kast i tyngdefeltet uden luftmodstand. Sætter vi koordinatsystemet med begyndelsespunkt i P, har vi
x(t) = v0·cos(α)·t og
y(t) = -(1/2)gt2 + v0·sin(α)·t
hvor α er startvinklen med vandret, og v0 er begyndelsesfarten . Der skal nu gælde, at D' > 0 for alle t > 0 .
Svar #2
16. september 2011 af arto460 (Slettet)
Ja præcis også hvad jeg kom frem til. Synes bare det blev ret indviklet når jeg skulle differentiere D =sqrt(x(t)^2 + y(t)^2), men det er nok fordi man er så vant til simple opgaver :)
Svar #3
16. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Det er meget nemmere at differentiere D2 , idet d(D2)/dt = 2D·D' .
Svar #4
16. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
#3
Man finder
D2 = v02·t2 + (1/4)·g2·t4 -v0·sin(α)·g·t3 , så
d(D2)/dt = 2D·D' = 2v02·t + g2·t3 -3v0·sin(α)·g·t2
Hvis D > 0, og hvis D' skal være > 0 for alle t > 0, skal 2.-gradspolynomiet
g2·t2 -3v0·sin(α)·g·t + 2v02
ikke have nogen reelle rødder, dvs. dets diskriminant skal være < 0, dvs
9v02·sin(α)2·g2 - 8v02·g2 < 0 , hvilket er tilfældet, hvis
sin(α) < (√8) / 3 .
Skriv et svar til: optimeringsopgave
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.