Øvre og nedre grænser

Nogen der kan lige kigge på min besvarelse for følgende spørgsmål?

Om to ikke-tomme delmængder A, B af de reelle tal R gælder at ethvert a ∈A er en nedre grænse for B.

a) Tegn en illustrativ figur af situationen.

b) Vis: Ethvert tak b ∈B er en øvre grænse for A.

c) Vit: Sup A er en nedre grænse for A.

d) Vis: sup A ≤ inf B.

a)

A, B ∈R,  a ∈ A

Vit får at vide at ethvert a ∈ A er en nedre grænse for B, dvs at der findes ikke noget b ∈ B, der er mindre end noget a ∈ A. Der må derfor gælde at a ≤ b.

Hvor jeg så har tegnet en figur: dette skal forestille en talrække .. ( ---|--A--|------|---B---|-----> )

b)

Ud fra a) kan vi så konkludere at der ikke findes noget b ∈ B, der er mindre end noget a ∈ B. Der må derfor gælde at b ≥ a.

c)

Vi ved fra b) at alle b ∈ B er øvre grænse for A, og vi ved at sup A er den mindste øvre grænse for A. Derfor må der gælde at sup A er en nedre grænse for B, dvs. sup A ≤ b.

d)

Hvis b er en øvre grænse for A, så er sup A ≤ b. Tilsvarende ved også at inf B er en nedre grænse for B. Så da sup A er en nedre grænse for B, og inf B er den største nedre grænse, må der gælde at sup A ≤ inf B.