Matematik
grænseovergang
Se vedhæftet fil. Jeg skal bestemme om h kan gøres kontinuer. Det gør jeg ved at tage grænseovergangen for y->0 og får så et udtryk for x, som jeg kan vurdere giver mening for også x->0. Der får jeg uendelig, og det betyder vel, at denne grænseovergang ikke eksisterer? Men hvad nu hvis de to separate udtryk (hvad de ikke gør) sin(x)/x^2 - som ikke går mod uendelig - og cos(x)/x^2 begge to gik mod uendelig lige hurtigt. Jeg spørger altså ikke til opgaven konkret, men om det er muligt at definere en grænseværdi ved uendelig og så stadig udvide med kontinuitet?
Svar #2
18. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)
Det drejer sig om at undersøge funktionen h(x,y) = (cos(x) - cos(y)) / (x2 + y2) i omegnen af (0 , 0) .
Sætter man y = 0, får man for x ≠ 0 og |x| << 1 , at
h(x,0) = (cos(x) -1)/x2 ≈ (1 - (1/2)x2 + (1/24)x4 +... -1)/x2 = (-1/2) + (1/24)x2 + ... → -(1/2) for x → 0 .
Sætter man derimod x = 0, får man for y ≠ 0 og |y| << 1, at
h(0,y) = (1 - cos(y))/y2 ≈ (1 - 1 + (1/2)y2 - (1/24)y4 + ...)/y2 = (1/2) - (1/24)y2 + ... → +(1/2) for y → 0 .
Det er derfor ikke muligt at udvide h(x,y) til en kontinuert funktion på hele R2 .
Skriv et svar til: grænseovergang
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.