vektor

hvis vektorerne er ortogonale på hinanden: a⊥b og b⊥c og a⊥c så udspænder vektorerne en terning

undersøg i hvert tilfælde prikproduktet (skalarproduktet) mellem to af vektorerne er lig med nul fx:

  a • b = 0     ⇔    a⊥b

Forøvrigt kan volumen af terningen beregnes som:   a x b • c

det udspænder en terning,men hvordan skal jeg beregn den spidse vinkel som danner diagonaler 

Det er den spidse vinkel mellem de indvendige diagonaler, som opgaven spørger efter, hvilket betyder at du skal finde vektorkoordinaterne for disse diagonaler (lad os kalde dem d1 og d2) og herefter bruge følgende formel for at finde vinklen v imellem dem:

cos(v) = (d1•d2)/(|d1|·|d2|)   altså prikproduktet divideret med produktet af deres længder

for at finde koordinaterne til disse vektorer kan man vel antage at terningen har et hjørne i origo (0,0,0)

vektoren mellem origo og det diagonalt modsatte hjørne vil fx være d1

d1 = a+b+c = (1,7,5)

med lidt rummelig fantasi og forestillingsevne vil du sikkert medgive mig at den anden diagonal d2 således må være

d2 = a-(b+c) = (7,-1,-5)

herefter er det "bare" at bruge formlen for bestemmelse af vinklen (husk at sætte din lommeregner til at regne i grader), hvis den fundne vinkel er mindre end 90^o er det den spidse ellers må du sige 180^o - v

giver det mening ??

ja men hvordan får du d1 til at være (1,7,5 ) og d2 til (7,-1,-5) ??????

Husk at tænke i vektorkoordinater

d1 = a+b+c = (4,3,0) + (-3,4,0) + (0,0,5) = (4-3+0,3+4+0,0+0+5) = (1,7,5)

d2 = a-(b+c) =  (4,3,0) - ((-3,4,0)+(0,0,5)) = (4,3,0) - (-3,4,5) = (4-(-3),3-4,0-5) = (7,-1,-5)

tak

#5

Det er slet ikke nødvendigt at regne diagonalvektorernes koordinater ud, når det nu er vist, at vektorerne a, b, c udspænder en terning. De tre vektorer er parvis ortogonale og har hver længden 5, og da de to diagonalvektorer d₁ og d₂ har samme længde, har vi for vinklen v mellem d₁ og d₂, at

cos(v) = (d₁ • d₂) / (|d₁||d₂|)

            = (a+b+c)•(a-b-c) / |d₁|²

            = (|a|² -|b|² -|c|²) / (|a|² + |b|² + |c|²)

            = -1/3

For den spidse vinkel v_spids mellem diagonalerne har vi derfor

cos(v_spids) = |cos(v)| = 1/3

#7 SMART, - det havde jeg ikke tænkt på :-)