Hvordan kan noget være eksponentielt fordelt?

Jeg kender ikke SIR-modellen, men hvis den beskriver, hvordan en epidemi udvikler sig, kan det relativt let forklares, hvorfor antallet af smittede kunne tænkes at udvikle sig eksponentielt. Efter at have læst kort om det, ser jeg, at SIR står for susceptible (modtagelig), infected (inficeret) og recovered (helbredte).

Lad os betragte en lukket population af individer, der er modtagelige over for en sygdom. Til at starte med er ét individ inficeret med sygdommen, men dette individ er dagligt i kontant med andre mennesker. Hvis vi forestiller os, at 2 % af de individer, der er kontakt med en inficeret, vil blive smittet indenfor et vist tidsrum t, da vil infektionen udvikle sig i overensstemmelse med

i(t)=i(0)*1,02^t,                                                                                                                                             (1)

hvor i(0)=1 i dette eksempel. Hvis vi nu antager, at t er målt i dage, da kan vi udregne fordoblingstiden og dermed se, hvor lang tid det tager, før det dobbelte antal individer er smittet.

2i(0)=i(0)*1,02^t <=> 2=1,02^t <=> t=ln(2)/ln(1,02) <=> t=35,

dvs smitten breder sig til det dobbelte antal individer i løbet af 35 dage. 

I henhold til (1) kan vi udregne, hvor mange mennesker der vil være smittet i løbet af et år, idet

i(365)=1*1,02³⁶⁵=1377,41,

det vil altså sige, at allerede på ét år, vil smitten have bredt sig fra et individ til knap 1400 andre. Det er alligevel lidt ærgeligt. Især hvis det ikke gøres noget, for vi ved jo, at 35 dage inde i det næste år vil det dobbelte være smittet, som vi også ser, hvis vi udregner

i(365+35)=1*1,02³⁶⁵⁺³⁵=2754,66,

hvor 2754,66/2=1377,33, så der er lidt afrundingsfejl.

At antallet af inficerede er eksponentielfordelt betyder altså, at antallet vokser med en speciel procentdel hver eneste periode. 

Gav det lidt klarhed?

Det betyder at tæthedsfunktionen er e^-x/b/b     x > 0

Nu kom jeg så lige til at læse, hvad du egentlig havde skrevet. Eksponentialfordelingen er noget lidt andet end eksponentiel udvikling. Når X har en fordeling defineret ved tæthedsfunktionen

f(x|λ)=λe^-λx, x>0

eller ved fordelingsfunktionen

F(x|λ)=1-e^-λx, x>0

siges X at være eksponentielfordelt. 

Glem #1.

Netop denne funktion: f(x|λ)=λe^-λx, x>0 (dog med negativt fortegn foran konstanten λ) er min "sandsynlighedsfordelingsgraf", hvor jeg så finder konstanten λ vha. partiel integrationsregneregel idet jeg ved at arealet under grafen skal være =1 (da summen af sandsynligheder som bekendt giver 1).

Hvornår ved man at x har en fordeling defineret ved en bestemt tæthedsfunktion? (jeg skal sige dig at jeg har gennemgået det med min SRPvejleder meget overfladisk og nu er det så op til mig selv at samle beviser sammen og gøre rede for det til næste vejledningsrundte for at jeg kan komme videre - og det er her filmen knækker)

Håber du kan svare på det :) 

Hvilken fordelingsfunktion er afhængig af den aktueller opgave.

Den vigtigste fordelingsfunktion er normalfordelingen, som optræde når mange små effekter bidrager samt som tilnærmelse af andre fordelinger.

χ² fordelingen som optræder i mange test og som har forbindelse til normalfordelingen.

binomialfordelingen, som optræder når et eksperiment har 2 mulige udfald.

poissonfordelingen som optræder når en sandsynlighed er proportional med meget små intervaller.