Returns of scale - matematik?

Hvorfor googler du ikke selv? http://en.wikipedia.org/wiki/Returns_of_scale

Jeg synes ikke at deres forklaring er god nok :)

Returns to scale beskriver blot, hvor meget produktionen skaleres med, hvis produktionsfaktorerne skaleres.

Rent matematisk er det muligt at afgøre, om produktionen skaleres i samme forhold produktionsfaktorerne ved at undersøge, om produktionsfunktionen er homogen af grad 1, dvs opfylder

f(aK,aL)=af(K,L)

Hvis den er det, siges den at udtrykke constant returns to scale (konstant skalaafkast). Ofte vil vi forvente, at dette er tilfældet, da det virker intuitivt, at hvis én fabrik producerer f(K,L), da vil det være muligt at bygge a fuldstændig ens fabrikker, der hver vil producere f(K,L). På den måde opnås en samlet produktion på af(K,L).

Det er dog muligt at have decreasing returns to scale (faldene skalaafkast), dvs 

f(aK,aL)<af(K,L)

Forestil dig eksempelvis en virksomhed på meget kort sigt. Den kan da ikke ændre på mængden af kapital, så det er i praksis kun mængden af arbejdskraft, der kan reguleres. Hvis vi blot normaliserer, så K=1 fås produktionen som f(L). Hvis vi antager, at der er aftagende marginalprodukt på arbejdskraft, vil der altså på kort sigt være faldene skalaafkast, idet

f(aL)<af(L).

Der er ligeledes mulighed for increasing returns to scale (stigende skalaafkast), så

f(aK,aL)>af(K,L)

I praksis giver det ikke så meget mening på virksomhedsplan, idet det altid ville kunne betale sig at fordoble produktionen, hvis det kunne gøres uden at fordoble produktionsfaktorerne (produktionen vil gå imod uendeligt). Man kunne dog forestille sig en situation, hvor der i den enkelte virksomhed var constant returns to scale, men der på samfundsplan var increasing returns to scale. Det ville ske, hvis en virksomheds medarbejderes brug af kapital havde en positiv indvirkning på de øvrige virksomheders medarbejdere (tænk på det som om, at medarbejderne flytter rundt imellem virksomhederne men lærer lidt hvert enkelt sted, som de tager med sig og kan bidrage med det nye sted). På den måde er der nogle produktive eksternaliteter, der gør, at stigende skalaafkast kan forekomme på samfundsplan.