Matematik

Lineær algebra

19. juli 2005 af Export (Slettet)

Jeg har et lille problem:

Hvis A er en m x n-matrix og vi betrager lignnigssystemet

A*vektor(X) = vektor(0),

hvor vektor(X) er 1 x n-'løsningsvektoren' til systemet, hvorfor gælder der så, at rækkevektorene i A er ortogonale på vektorene i nulrummet til A?

Svar #1
22. juli 2005 af Export (Slettet)

Er der slet ingen, der kan hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. juli 2005 af 404error (Slettet)

Det er vist ret oplagt, hvis du ser på hvordan matrixmultiplikation samt ortogonalitet af vektorer er defineret.

Svar #3
22. juli 2005 af Export (Slettet)

Hmm ... gider du at prøve at forklare det lidt nærmere.

Svar #4
22. juli 2005 af Export (Slettet)

Arrrh ... nu har jeg fundet ud af det, men jeg har så et andet spørgsmål:

Lad w_1, w_2, ..., w_k være vektorer i R^n og lad W = span(w_1, w_2, ..., w_k) være et underrum af R^n. Hvorfor gælder der nu at ethvert underrum, der indeholder w_i, hvor i = 1, 2, ..., k, nødvendigvis også må indeholde alle linearkombinationer af disse vektorer, hvoraf det følger, at alle vektorerne er i W?

Håber at du, 404error, eventuelt gider at gennemgå det nogenlunde grundigt for mig ... jeg skal nemlig op til mundtlig eksamen i det her den 10. eller 11. august (jeg var syg, da der var eksamen i juni), og jeg vil gerne have ordentlig styr på det hele.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. juli 2005 af 404error (Slettet)

Et underrum U (af et vektorrum over et legeme L) er en delmængde af det oprindelige rum, hvor elementerne opfylder følgende to afslutningsbetingelser

(A) u \\in U => t * u \\in U, t \\in L;
(B) u, v \\in U => u + v \\in U.

Vha. induktion er det da let at vise din påstand, idet du husker på at

span(w_1,...,w_k) = {t_1*w_1+...+t_k*w_k | t_i \\in L, i=1,...,k}

per definition.

Svar #6
22. juli 2005 af Export (Slettet)

Okay, jeg prøver. Jeg har nok nogle flere spørgsmål senere; håber du stadig er hjælpevillig på det tidspunkt!

Svar #7
23. juli 2005 af Export (Slettet)

Ja, sørme nok, så kom det næste problem:

Hvorfor er det nu lige, at dimensionen af en vilkårlig matrix (altså antallet af vektorer i dennes basis) er lig med antallet af pivoter i matricen?
Jeg vil meget gerne have et bevis for det (jeg håber, at du (404error) gider hjælpe mig med at lave et), fordi der står nemlig ikke noget bevis i vores bog, og det ville jo være cool at kunne fyre det af til eksamen (hvis jeg altså kommer op i det emne :-]).

Svar #8
23. juli 2005 af Export (Slettet)

#7: Hovsa, det var noget vrøvl, det jeg skrev. Mit problem er som følger:

Hvorfor er dimensionen af rækkerummet for en vilkårlig matrix lig med antallet af pivoter i matricen?

(Også) her mangler jeg et bevis.

Svar #9
23. juli 2005 af Export (Slettet)

Jeg er faktisk stødt på endnu et lille problem (ifølge bogen burde det ikke være så svært, men jeg kan ikke lige gennemskue det): Hvorfor er en n x n-matrix A invertibel, hvis og kun hvis rang(A) = n? Jeg kender rangligningen i forvejen, så altså hvis dimensionen af nulrummet for A er nul <=> ingen pivotfri søjler i den reducerede rækkeechelonform af A.

Håber du kan hjælpe med både #8 og #9.

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. juli 2005 af 404error (Slettet)

#8: Prøv først at vise, at rækkerummet i den reducerede rækkeechelonform (rref) for en matrix er det samme som det oprindelige rækkerum (hint: brug definitionen på rækkerum som et underrum og afslutningsegenskaberne for sådanne - hvad sker der når man rækkereducerer?). Dimensionen af rækkerummet er let at aflæse i rref-formen; bare tæl de ikke-trivielle rækker. Brug nu definitionen på en pivotrække.

#9: I fald matricen A er invertibel, har du selv påpeget, at der vil være pivot i alle søjler i rref-formen for A. Altså kan du rækkereducere A til identitetsmatricen, og vha. en velkendt algoritme kan du derfor også konstruere A^{-1}.

Svar #11
23. juli 2005 af Export (Slettet)

Okay, mange tak for hjælpen! Jeg skriver igen, når der opstår flere problemer.

Svar #12
23. juli 2005 af Export (Slettet)

Hmm ... hvordan vil du i grunden oversætte "The image of the domain og f is the range of f"?

Svar #13
24. juli 2005 af Export (Slettet)

Endnu et problem er opstået:

Lad X være en ikke-tom delmængde af et vektorrum V. Hvorfor gælder der nu, at span(X) er det mindste underrum af V, der indeholder samtlige vektorer i X?

Jeg kan ikke rigtig finde ud af at bevise sætningen i #8. Håber på lidt mere assistance.
#12 var mest fordi jeg ikke ved hvordan man oversætter "range" -- kan du hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. juli 2005 af 404error (Slettet)

#13: Lad Y være et vilkårligt underrum af X, som indeholder samtlige vektorer i X. Brug nu definitionen på span og underrum til at vise, at span(X) er indeholdt i Y.

'Range' vil jeg oversætte med 'billede' eller 'værdimængde' - ikke at forveksle med kodomænet for funktionen.

Svar #15
24. juli 2005 af Export (Slettet)

#14: Nååår ja, det kan jeg da godt se, nu du siger det. Takker!

Gider du evt. at lave beviset i #8 for mig, for jeg kan ikke rigtig få det hen?

Brugbart svar (0)

Svar #16
24. juli 2005 af 404error (Slettet)

#15: Hvad er det, du ikke kan finde ud af i #8?

Svar #17
24. juli 2005 af Export (Slettet)

At vise, at rækkerummet i den reducerede rækkeechelonform for en matrix er det samme som det oprindelige rækkerum.

Brugbart svar (0)

Svar #18
24. juli 2005 af 404error (Slettet)

Ja, det kunne jeg så gætte mig til - men hvor springer kæden af ifm. de hints, jeg har givet?

Svar #19
24. juli 2005 af Export (Slettet)

Det er sådan set lidt det hele; jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal komme i gang.

Brugbart svar (0)

Svar #20
24. juli 2005 af 404error (Slettet)

Er du med på, at rækkereduktioner ikke ændrer på spannet af rækkerne og dermed rækkerummet? Hvis ikke, overvej hvad man gør ifm. rækkereduktioner - samt hvilke operationer, et vektorrum er stabilt overfor.

Forrige 1 2 3 4 Næste

Der er 62 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.