Opgave 4

a) Man kan da aflæse x-koordinaterne med tilnærmelse:

Funktionen er aftagende i ]-∞ ; -5,3[ ,
                          voksende i ]-5,3 ; -1,5[
                          aftagende i ]-1,5 ; 1,8[
                          voksende i ]1,8 ; ∞[

med lokale minimumspunkter i -5,3 og 1,8 , og lokalt maksimumspunkt i -1,5 .

b) Den afledede skal have nulpunkter for x = -5,3 , x = -1,5 og x = 1,8 , hvilket indskrænker mulighederne til j) og k) , og den skal have fortegnsvariationen  - 0 + 0 - 0 + , hvilket yderligere begrænser mulighederne til k) .

c) Man kan ikke slutte noget om, at de underliggende funktioner er polynomier. Man skal udelukkende drage sine konklusioner ud fra graferne. Den givne funktion f er den afledede til sin egen stamfunktion. Derfor vil stamfunktionen have lokale ekstrema for x = -6,5 , x = -3,3 , x = 0,4 , og x = 2,7 . Den eneste funktion med 4 lokale ekstremer (ved disse steder) er funktionen g . Desuden har f(x) fortegnsvariationen + 0 - 0 + 0 - 0 + svarende til monotonivariationen

voksende, aftagende, voksende, aftagende, voksende ,

hvilket også stemmer overens med funktionen g, der altså må være en stamfunktion til den givne funktion f .

#1

Hmm .. Det giver faktisk meget mening, meget bedre. Men, kan det lade sig gøre at bestemme funktionens fortegnsvariationen uden hvis man kigger på/aflæser grafen, hvis man kun kender nulpunkter/lokale ekstrema? Ligesom fx du siger: "Desuden har f(x) fortegnsvariationen + 0 - 0 + 0 - 0 + svarende til monotonivariationen." Jeg er helt enig med dig, hvis jeg kigger på grafen samtidig.

#2

Never mind, har forstået. Mange tak for hjælpen!

Hav en god nat. Sov godt.

@Andersen11

Du skrev: "... og den skal have fortegnsvariationen  - 0 + 0 - 0 + , hvilket yderligere begrænser mulighederne til k) ." Det forstår jeg ikke. Hvorfor "skal" dens fortegnsvariation være sådan? Er det fordi, at funktionen i begyndelsen er aftagende, skal differentialfunktionen også vare aftagende i begyndelsen?

#4

Man kan jo se af grafen for f, at f er aftagende, voksende, aftagende, og voksende, hvorfor dens afledede nødvendigvis må have den angivne fortegnsvariation.

Okay, så skulle det være billede k. Hvis det er sådan, det skal gøres, så må stamfunktionen (opg c) også have den samme fortegnsvariation som den almindelige funktion, dvs aftagende, voksende, aftagende og voksende - men det gør billedet g ikke. Den starter med at blive voksende, dernæst aftagende, voksende osv.

#6

Det er forkert at slutte, at stamfunktionen må have samme fortegnsvariation som funktionen selv. Genlæs svaret for c) i #1.

Funktionen f har nulpunkter for x = -6,5 , x = -3,3 , x = 0,4 , og x = 2,7 , så stamfunktionen skal have lokale ekstrema for disse værdier af x. Fortegnsvariationen for f(x) skal også passe med monotoniforholdene for stamfunktionen, og det passer netop alt sammen med funktionen g.

#7

Hmm okay ... Det er min hjerne, der ikke kan følge med =S, har altså ambivalente følelser ... Men, tak for din tid.

@Andersen11

Hvis vi havde byttet den første graf (forsiden) med grafen billede k,

og hvis vi aflæser, at den er aftagende, voksende, aftagende osv.

og vi bliver bedt om, at vurdere hvilken billede der er stamfunktionen af denne funktion

hvad ville du så have valgt? Funktionen der er voksende, aftagende, voksende osv, eller aftagende, voksende, aftagende osv?

#9

Prøv lige at opretholde en smule logik i det, du skriver. Der er ingen grund til at gøre det mere forvirrende ved at bytte om på grafer.

Spørger du om hvilken funktion, der er stamfunktion til funktionen k ?

Funktionen k har nulpunkter for x = -5,3 , x = -1,5, og x = 1,8 og har fortegnsvariationen - 0 + 0 - 0 + , så dens stamfunktion skal have lokale ekstrema for x = -5,3 , x = -1,5, og x = 1,8 og være aftagende, voksende, aftagende, voksende, og funktionen f opfylder disse betingelser, hvilket jo også er i overensstemmelse med svaret i b).

#10

"Funktionen k har nulpunkter for x = -5,3 , x = -1,5, og x = 1,8 og har fortegnsvariationen - 0 + 0 - 0 + ,"

Når jeg kigger på grafen af funktion k, har dens fortegnsvariation jo + 0 - 0 + .

Det er kun funktionen f, der har den fortegnsvariation - 0 + 0 - 0 +.

#11

Du må da hellere kigge efter igen. Du blander vist fortegnsvariation sammen med monotoniforhold.

#12

Okay, jeg tror jeg må undersøge nærmere om det (imorgen) når jeg bliver frisk. Mange tak for din tålmodighed Andersen11 :)

#13

Generelt bør man studere matematik (og andre lektier for den sags skyld), når man er frisk og udhvilet -- ikke når man er ved at falde sammen af udmattethed.