Polynomier af den fjerde- og femtegrad.

Se svar #1 i denne tråd https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1153103

66) jeg kan give et eksempel.

Lad der være givet et 3.gradspolynomium f(x).

Lad os antage at det har 4 rødder (k=rod).

Så kan vi skrive f(x)=(x-k₁)(x-k₂)(x-k₃)(x-k₄), hvor k'erne er lig de fire rødder.

Ganger man paranteserne ud, så bliver f(x) et 4.-gradspolynomium, i strid med at det var et 3.-gradspolynomium.

Et 3.gradspolynomium har altså under 4 rødder. :)

82) Et polynomium er f(x) = a·x²(x-2)(x+2) ; afstem a , så f(3) = 10 .

83) Et andet eksempel er f(x) = a·x·(x-2)²(x+2) ; afstem a, så f(3) = 10 .

#2 synes det er en lidt underlig måde at fortælle det på, forstår det simpelt nok, men dog er det lidt en kompliceret måde at fortælle det på.

Kunne du hjælpe mig med 82 og 83 ?

i 82) er jeg godt klar over at jeg skal sætte 3 ind på xes plads, og 10 ind på f(x), men kan ikke se hvordan jeg skal kunne finde forskriften.

#4

Læs svaret i linket i #1

Læs svaret i #3.

82) 10 = a·3²·(3-2)·(3+2) = 45a ⇒ a = 10/45 = 2/9 , så

f(x) = (2/9)·x²·(x-2)·(x+2) = (2/9)·x²·(x²-4) = (2/9)·x⁴ - (8/9)·x²

#5 Havde ikke set #3. Linket i #1 fortæller jo kun hvordan 66 og 67 løses.

83) løses vel på samme måde som 82 så, ikke også?

#6

Jo, men det var da vel en start? -- svarende til halvdelen af opgaven.

Jo, 83) har samme fremgangsmåde som 82), hvilket vel også fremgår af #3.

#7 opgaven lød jo:
82) Find forskriften for et fjerdegradspolynomium, som har rødderne 0, -2 og 2 (og ikke andre), og som i 3 har værdien 10.

det du har skrevet i #5 er det løsning? til 82) ?

Nu når du skriver i #7 at det svarer til ½delen af opgaven kommer jeg i tvivl.

Ville mere fremsætte det som et 'bevis' :)

#8

Ja, polynomiet i #5 er et polynomium, der netop har de tre rødder 0 , -2 og 2 , og som i x=3 har værdien 10 .

Din oprindelige opgave i #0 indeholder 4 spørgsmål. I #1 gav jeg et svar, der besvarer de to spørgsmål 66) og 67) , hvilket vel kan kaldes at besvare halvdelen af din opgave. Og #3 besvarer så de to resterende spørgsmål.

Redigeret igen.
#10 

Nu skal jeg lige være med.

#1 svarer på 66 + 77

#3 fortæller hvordan opgaven 82 + 83 løses

#5 fremgangsmåde og løsning til 82

korrekt ?

EDIT:

83) Et andet eksempel er f(x) = a·x·(x-2)²(x+2) ; afstem a, så f(3) = 10 .

83) 10 = a·3·(3-2)²·(3+2) = 15a ⇒ a = 10/15  så

f(x) = (10/15)·x·(x-2)²·(x+2) 

kan du hjælpe mig lidt videre?

#11

Ja, så er forskriften

f(x) = (2/3)·x·(x-2)²·(x+2)

Gang selv parenteserne ud.

#12

f(x) = (10/15)·x·(x-2)²·(x+2)

f(x) = (10/15)·x·x²-2x-2x+4·(x+2)
f(x) = (10/15)·x·x²-2x-2x+4·x+2
f(x) = (10/15)·x²·2x-4x+6

kan det passe ?

ville du lige kigge på #11 fik den nemlig redigeret efter du skrev #12.

#13

Du mangler en hel masse parenteser, og 10/15 forkorter man til 2/3, og tilsyneladende smider du nogle faktorer helt væk:

f(x) = (2/3)·x·(x-2)²·(x+2)

      = (2/3)·x·(x²-4)·(x-2)

      = (2/3)·x·(x³ -2x² -4x +8)

      = (2/3)·(x⁴ -2x³ -4x² +8x)

      = (2/3)·x⁴ - (4/3)·x³ - (8/3)·x² + (16/3)x

Vedr #11 -- Ja, det er da korrekt.

#14 okay tak.

Har lige et aller sidste spørgsmål ang. 4. grads polynomier.

101) Find forskriften for et fjerdegradspolynomium, der ikke har nogen rødder, og som i 1 har værdien 8.

når der står "og som i 1 har værdien 8"

menes der så har værdien 8 når x=1?

og hvordan løses dette helt præcist?

#15

Ja, at polynomiet i 1 har værdien 8, betyder, at f(1) = 8 .

Polynomiet f(x) = x⁴ + 1 har ingen rødder. Som svar på opgaven kan man da bruge

f(x) = a·(x⁴ + 1) ,

hvor man så afstemmer a, så at f(1) = 8 , dvs a = 4.

#16
Er facit så ved 101)

f(x)= 4•x⁴  - 8•x³  - 16•x²  + 32x

eller hvordan

#17

Nej, hvor kommer det dog fra??

Det er, fra #16,

f(x) = 4·(x⁴ + 1) = 4·x⁴ + 4

#18

så du ganger bare ind i parantesen og det er facit ?

#19

Ja, hvordan skulle man ellers regne 4·(x⁴ + 1) ud? Det er et polynomium, der besvarer det stillede spørgsmål.