Matematik
Vektorer
Hej alle..
Jeg sidder med en opgave, og har forsøgt at kigge i mine notater og bøger, men jeg aner virkelig ikke, hvordan denne opgave skal løses. Derfor håber jeg at der er nogle af jer, som vil hjælpe mig. På forhånd tak!
En kugle i et koordinatsystem i rummet har centrum i C(0,0,5) og punktet P(2,-1,3) ligger på kuglen.
a) Bestem en ligning for kuglen, og bestem en ligning for kuglens tangentplan i P.
Svar #1
15. marts 2012 af OhFortuna (Slettet)
Du kender centrummet, så ligning må vøre sådan noget som
(x-0)2 + (y-0)2 + (z-5)2 = r2 eller
x2 + y2 +(z-5)2 = r2. På kuglen ligger P(2,-1,3) så dets koordinater skal passe i formlen:
22 + (-1)2+(3-5)2 = r2 eller 4+1+5 =10 = r2.
Ligning for kuglen er : x2+y2+(z-5)2=10.
Ligningen for et tangentplan i (x0,y0,z0) er x0x + y0y + (z0-5)(z-5)=10 (den såkaldte "halv-substition")
her 2x -1y + (3-5)(z-5) = 10 ⇔ 2x-y-2z = 0
Svar #2
15. marts 2012 af mathon
radius
r = |CP| = ((2-0)2+(-1-0)2+(3-5)2)0,5 = (4+1+4)0,5 = 3
kugleligning
x2 + y2 + (z-5)2 = 32
tangentplanligning
i P(2,-1,3)
2·x + (-1)·y + (3-5)(z-5) - 9 = 0
2·x - y - 2z + 1 = 0
Svar #3
15. marts 2012 af Problem (Slettet)
tusind tak til jer begge..
OhFortuna: tror du har regnet kuglens ligning forkert, jeg får i hvert fald ikke det samme...
jeg fandet en video, hvor der er en der gennemgår en tilsvarende opgave, og den har jeg fulgt - jeg har fået det samme som mathon.
jeg vil nu kigge på tangentplanlining!
Svar #4
15. marts 2012 af Problem (Slettet)
mathon jeg har svært ved at se hvordan du udregner tangentplanens ligning i P kan du forklare mig det???
Svar #5
15. marts 2012 af OhFortuna (Slettet)
Du har ret, undskyld, jeg skrev 5 i.s.f. 4
Jeg klebajer
Du kender centrummet, så ligning må vøre sådan noget som
(x-0)2 + (y-0)2 + (z-5)2 = r2 eller
x2 + y2 +(z-5)2 = r2. På kuglen ligger P(2,-1,3) så dets koordinater skal passe i formlen:
22 + (-1)2+(3-5)2 = r2 eller 4+1+4 =9 = r2.
Ligning for kuglen er : x2+y2+(z-5)2=9.
Ligningen for et tangentplan i (x0,y0,z0) er x0x + y0y + (z0-5)(z-5)=9 (den såkaldte "halv-substition")
her 2x -1y + (3-5)(z-5) = 9 ⇔ 2x-y-2z = 1
Og nu er Mathon og jeg enige igen.
Svar #6
15. marts 2012 af Problem (Slettet)
det er i orden OhFortune...
Jeg forstår slet ikke det der halv-subsition :S
vil du forklare mig hvad det er I gør i detajler? :S
Svar #7
15. marts 2012 af OhFortuna (Slettet)
Kuglens ligning er: (x-a)2 + (x-b)2 + (x-c)2 = r2 eller lidt mere udskrvet:
(x-a)(x-a) + (x-b)(x-b) + (x-c)(x-c) = r2 , er nu (x0, y0, z0) et punkt på kuglen, så er ligning af tangentplanen:
(x0-a)(x-a) + (y0-b)(y-b) + (z0-c)(z-c) = r2 Hvis du kigger nøje seer du at jeg har udskiftetet hälften
af die variabelen (x,y,z) med (x0,y0,z0), derfor min kendetegnelsen "halv-substitution").
Jeg ved bare ikke om det undervises på de dankse gymnasier :-? men Mathon gjorde det også.
(jeg kan selvfølgeligt levere et bevis, men det kræver lidt mere arbejde).
Svar #8
15. marts 2012 af OhFortuna (Slettet)
se for beviset http://www.hans-gerda.dk/math/index.htm under menu-item Den halve substitution.
Skriv et svar til: Vektorer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.