Vektorer

Vinklen v mellem vektorerne a + b og a - b bestemems jo ved formlen

cos(v) = (a + b) • (a - b) / (|a + b||a - b|)

            = (|a|² - |b|²) / ((|a|² + |b|² + 2a•b)(|a|² + |b|² - 2a•b))^1/2

Det vides, at ∠(a,b) = 150º , hvorfor

(a • b) / (|a||b|) = cos(150º) = -(√3)/2 , hvorfor

|a|² + |b|² + 2a•b = 1² + 3² + 2·1·3·(-(√3)/2) = 10 - 3·√3 , og

|a|² + |b|² - 2a•b = 1² + 3² - 2·1·3·(-(√3)/2) = 10 + 3·√3 .

Dermed har vi

cos(v) = (1² - 3²) / ( (10 - 3·√3)·(10 + 3·√3))^1/2

            = -8 / (100 - 27)^1/2 = -8 / √73 ≈ -0,93633

I opgaven finder man vinklen v mellem diagonalerne i det af vektorerne a og b udspændte parallelogram.

#1

Mange tak for svaret. v ≈ 159.44º

Jeg har en anden lignende opgave, hvor den siger om at beregne arealet af det paralelleogram, som udspændes af vektorerne a + b og a - b.

Jeg tror, at A = |a + b||a - b|·sin(159.44º) = √73·sin(159.44º) ≈ 7.36 enh². Er det korrekt?

ja

#3

Talværdien for parallelogrammets areal er nu ikke korrekt.

Da cos(v) = -8 / √73 , er sin(v) = √(1 - 64/73) = 3 / √73 , og dermed er

A = (√73) ·sin(v) = 3 (eksakt)

Du har benyttet sin(59.44º) i stedet for sin(150.44º) (eller i stedet for den eksakte værdi).

Rettelse til #5

Sidste linie skulle have været:

"Du har benyttet sin(59.44º) i stedet for sin(159.44º) (eller i stedet for den eksakte værdi)."

#6

Ja, jeg kan nu se, at jeg har benyttet sin(59.44) istedet for sin(159.44) på CAS.

Jeg har et spørgsmål til: Hvordan omskriver man en formel fra cosinus til sinus, som du gjorde med

"cos(v) = -8 / √73, er sin(v) = √(1 - 64/73)"?

Hvis cos(v) = b/c, så er sin(v) = a/c = a·cos(v)/b

#7

Man benytter, at sin(v)² + cos(v)² = 1 , hvorfor

sin(v) = √(1 - cos(v)²)

Man finder eventuelt det korrekte fortegn ved at se på vinklens beliggenhed ved enhedscirklen.

Her fås så

sin(v) = √(1 - (-8/√73)²) = √(1 - 64/73) = √(9/73) = 3 / √73

#9

Tak for svaret!

Og tak for hjælpen.