Luftmodstand og kasteparablen

Luftmodstanden er normalt proportional med kvadratet på hastigheden og modsat rettet hastigheden. Det giver en meget vanskelig differentialligning at løse med mindre det er en lodret bevægelse. Hvis hastigheden ikke varierer for . meget bruger man derfor en tilnærmelse hvor gnidningskraften er F_g = -k*v. Tilføjer du det til bevægelsesligningerne for bevægelsen uden gnidning for du nogle bevægelsesligninger, der er til at løse

Det er en vandret bevægelse, men den meget vanskelige differentialligning kan vel beregnes vha. et it-udstyr, såsom MathCad eller GeoGebra, hvilket derved ikke vil være noget problem.

Men hvordan opstilles et udtryk (med bogstaver), hvor luftmodstanden er proportional med kvadratet på hastigheden?

(1:12, http://www.youtube.com/watch?v=VcEPbWJJwEQ&feature=relmfu)

Årsagen til, at jeg springer på den vanskelige metode, som kan gøres utrolig let, er, fordi jeg ikke forstår, hvad du mener med den sidste. Om hastigheden varierer (for) meget er jeg ikke klar over, og er bevægelsesligninger for bevægelsen uden gnidning: x = v_x(t₀)·t og y = -0,5·g·t²+v_y(t₀)·t+h₀?

Forresten: tusind tak for svaret!

Når jeg prøver at komme ind på den adresse som du angiver bliver jeg bare sendt et andet sted hen.

Du har misforstået hvad jeg mener med bevægelsesligninger. Jeg tænker på differentialligningerne

m*dv/dt = (0, -g) -k* |v|*v

skrevet ud for x koordinaterne bliver det

md²x/dt² = m*dv_x/dt = -k*kvrod(v_x²+v_y²)*v_x

Du kan selv skrive det tilsvarende ud for y koordinaterne

Det er blandningen med v_x og v_y under et kvadratrodtegn, der giver problemerne

Man får en MEGET ubehagelig løsning for y-værdiens konstant, hvis man bruger Fluft = k*v² ...

x-værdien i vektoren kan man dog nemmere finde:

a(t) =   ( -k*v_x(t)²  ;  - g - k*v_y(t)² )

v(t) =   ( v0_x - k*∫ v_x(t)² dt  ;   v0_y - g*t - k* ∫ v_y(t)² dt )

løser nu x-funktionen, dvs.

v_x(t)  = v0_x - k * ∫ v_x(t)² dt   =>      v_x ' (t)  = -k * v_x(t)²   ... løses som diff.lign. med punktet v_x(0) = v0_x   det giver:

v_x(t)  =  1 / (k*t + 1/v0_x)

og integreret til brug i v(t)-vektoren har vi ∫ v_x(t)² dt  =  - v0_x / (k*(k* v0_x* t+1))

-//                                s(t) - vektoren -//-  ∫ ∫ v_x(t)² dt dt  =  - ln(k* v0_x* t +1) / k²

Vi har altså følgende v- og s-vektorer:

v(t)  =  ( v0_x - k * ( - v0_x / (k*(k* v0_x* t+1)))    ;   v0_y - g*t - k* ∫ v_y(t)² dt )

s(t)  =  ( v0_x*t - 0.5* k* (- ln(k* v0_x* t +1) / k²    ;    -0.5g*t² + v0_y*t - k * ∫ ∫ v_y(t)² dt dt   )

da hastigheden i y-retning v_y (t) varierer meget, men er nogenlunde lille kan du evt. udelade sidste led med ∫ .

Hvis du absolut vil finde leddet med v_y(t)² skal du løse differentialligningen:

v_y ' (t)  =  - g - k * v_y(t) * numerisk(v_y(t))    ... 

Måske skal du ved løsning dele den i to dele (-k.... og +k....) for hhv. stigning, og faldet efter toppunktet.

Ligeledes skal jeg lige påpege, at v_y(t)² i mit indlæg før selvfølgelig skal hedde v_y(t) *l v_y(t) l (numerisk, da luftmodstanden jo enten svækker eller øger hastigheden op ad y-aksen, afhængig af v_y(t) - fortegnet)

Vedhæftet løste differentialligninger for y-værdier til indsættelse i vektorerne i #4.

.

#4 Det er en forkert differentialligning du opskriver. Det korrekte er

a(t) =   ( -k*kvrod(v_x²+v_y²)*v_x(t)  ;  - g - k*kvrod(v_x²+v_y²)*v_y(t) )

Den differentialligning du opskriver er det nemt at løse. Man skal bruge separation af variable til det.

Se iøvrigt #3

Ja det er rigtigt.

De to koblede differentialligninger bliver så...

v_x  '  =  - k * √(v_x²+v_y²) * v_x    

v_y '  =  - k * √(v_x²+v_y²) * v_y - g

Jeg løser disse og så bliver løsningerne:

v_x = (2v_y*e^(k*v_y*t +C1*v_y ) / (e^(2*k*v_y*t) - e^(2*C1*v_y))

v_y =  2*v_x*e^(g*k*v_x*t + C2*v_x) / (e^(2*g*k*v_x*t + 2*C2*v_x) -1)

hvor C1 = 1/v0_y*(ln(√(v0_y²+v_x²)-v0_y)-ln(v_x))

        C2 = 1/v0_x*ln((√(v0_x²+v_y²)-v0_x)/numerisk(v_y))

Indsætter man løsningen for v_y i løsningen for v_x får jeg en en ligning som min CAS desværre ikke kan løse mht v_x

Så løsningerne er stadig koblede, idet man ikke kender funktionerne for v_x og v_y alene.

Du løser formodentlig ligningerne ud fra at i den første er v_y konstant og i den anden at v_x er konstant. Det er de bare ikke så dine formler holder ikke