Kurvelængde bevis for vektorfunktion..

atlså for en parameter fremstlling?

Groft set har man for en kurve r(t)

ΔL = ∫ |dr| = ∫ |dr/dt| dt

formlen hedder for alm. ikke parametriske funktioner:

s = _a∫^b √(1 + r '(x)²) dx

Så jeg vil tro at for vektoren r(r_x , r_y), at man bare tager og udskifter r med r_y , og x med r_x

Evt. skal grænserne a og b måske også ændres, således at  r_x = a og r_x = b

#3

Den formel fremkommer jo netop af formlen

ΔL = _t1∫^t2 |dr/dt| dt

ved parametrisering af grafen for en funktion f(x) :

r(t) = (t , f(t)) ⇒ dr/dt = (1 , f '(t)) ⇒ |dr/dt| = [ 1 + (f '(t))² ]^1/2

#3 Du bruger blot x som parameter, så #2 og #4 er mere generel

ah, ja skal altid lige vænne mg til at skelne mellem l x l (numerisk) og l r l   (længde).

Er samlet kurvelængde L så lig med dobbelt integrale af længden af den afledede vektor?

Det er ikke et dobbelt integral. Bortset fra det er det korrekt

eksempel:

r(t) = (5t+5 , 4t² +t +6)

r ' (t) = (5 , 8t + 1)

l r l   =  √ (5²+(8t+1)²)

L = _a∫^b  (√ (25+(8t+1)²) dx

#8

I #4 stod ΔL for buelængden langs kurven r(t) fra punktet hørende til parameterværdien t₁ til punktet hørende til parameterværdien t₂ .

Buelængden L langs kurven fra t₁ til t₂ er så

L(t₁,t₂) = _t1∫^t2 |dr/dt| dt

I dine udtryk bør man skrive r(t) og r '(t) i vektornotation, idet man ofte benytter r(t) som alternativ notation for længden |r(t)| .