Vektorer 3D

Jeg kan ikke se nogen tegning. Det er muligvis fordi du har brugt det håbløse format docx. Brug doc eller pdf i stedet.

Det er meningsløst at tale om at  en plan krydser en vektor. Er der ikke tale om at en linje krydser planen ?  I så fald skal du sætte parameterfremstillingen for linjen ind i planens ligning. Det giver en ligning til bestemmelse af den parameter, for linjen, der svarer til skæringen.

Hvordan kan en plan og en vektor være ens. Det er helt forskellige ting

Planens ligning er: x + 2y + 2,8z - 14 = 0           
når

        x = 10t
        y = 20t
        z = 28t

dvs

10t + 2·20t + 2,8·28t - 14 = 0

        321·t - 35 = 0

        t = ³⁵/₃₂₁

Der er tale om Opg 9 i dette eksamenssæt (STX Mat A 26. maj 2010)

http://www.uvm.dk/Uddannelser-og-dagtilbud/Gymnasiale-uddannelser/Proever-og-eksamen/Skriftlige-opgavesaet/~/media/UVM/Filer/Udd/Gym/PDF10/Proever%20og%20eksamen/Tidligere%20skriftlige%20opgavesaet%20stx%20og%20hf/Matematik/100526_matematik_A_stx_opgave.ashx

Opgaven har været behandlet tdligere her på Portalen.

a) Man skal først bestemme en ligning for planen α i rummet gennem de tre punkter

A(4,5,0)
B(0,7,0)
T(0,0,5)

b) Dernæst skal en metalstang (ret linie) gå fra O(0,0,0) gennem et punkt D i planen α således, at stangen er vinkelret på planen, og man skal bestemme koordinaterne til punktet D. Punktet D er med andre ord projektionen af punktet O på planen α.

den korrekte tekst

En metalstang skal gå fra O til et punkt D på
sidefladen ABT, således at metalstangen står
vinkelret på sidefladen ABT.
b) Bestem koordinatsættet til punktet D

tilsiger imidlertid

         dist(α,O) = | x + 2y + 2,8z - 14 | / √(1²+2²+2,8²) = 14·5 / √(321) = 70/√(321)

         n_e = 5/√(321)·[1,2,2.8]    (enhedsnormalvektoren)

         OD = (70/√(321))·n_e = (70/√(321))·5/√(321)·[1,2,2.8] = [³⁵⁰/₃₂₁,⁷⁰⁰/₃₂₁,⁹⁸⁰/₃₂₁]

         D = (³⁵⁰/₃₂₁,⁷⁰⁰/₃₂₁,⁹⁸⁰/₃₂₁) = (1 ²⁹/₃₂₁ , 2 ⁵⁸/₃₂₁ , 31 ¹⁷/₃₂₁)

   da et punkt og dets stedvektor har samme koordinater

Se evt. denne tråd https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1051180

korrektion
dist(α,O(0,0,0)) = | 0 + 2·0 + 2,8·0 - 14 | / √(1²+2²+2,8²) = 14·5 / √(321) = 70/√(321)

Jeg forstår ikke hvordan du får 14*5. Jeg går ud fra at det har noget at gøre med at du også tilføjer 5² på længden af α, og derved får 321^1/2, men forstår ikke helt teknikken bag. 

Igen i svar 2 kan jeg se du ganger 10t + 2·20t + 2,8·28t med 2.5 for at få 321 og det samme gør du med de minus 14 du har for at få 35, hvilket jeg heller ikke kan se hvor du får fra. Synes dog din metode ser super spændende ud.

 dist(α,O(0,0,0)) = | 0 + 2·0 + 2,8·0 - 14  /√(1²+2²+2,8²) = 14/(√(321/5) = 14·5/√(321) =  70/√(321)

         #2 skal ikke anvendes,
         da der ikke - som gættet af  #1 - var tale om
         "at en linje krydser planen"  som oprindeligt
         frit gæt udløst af din noget ubehjælpsomme
         spørgetekst    :-)
       
 

Okay, hvordan finder du fremtil enhedsnormal vektoren?

     
                     ...normalvektoren divideret med sin længde

                        n / |n| = [1,2,2.8] / (√(321/5)  =  [1,2,2.8] · (5/√(321) = (5/√(321)·[1,2,2.8]

     ...man dividerer med en brøk ved at gange med den reciprokke brøk

Tallet 70/√(321) finder du frem til ved at sige (ax₁+by₁+cz₁+d)/√(a²+b²+c²) og det må være som et led i afstandsformlen. Altså direkte kopieret fra dig: 0 + 2·0 + 2,8·0 - 14  /√(1²+2²+2,8²)
Jeg sætter et spørgsmålstegn ind for de tal jeg mangler, og ikke forstår hvor du får fra:

?/√(10²+20²+28²)*·[1,2,2.8]

Jeg er desværre staidg forvirret omkring de tal du har sat ind for at få (√(321/5). Når jeg taster normalvektoren ind som før tastet får jeg 2*(√(321)

     planen α's ligning er: x + 2y + 2,8z - 14 = 0

     dist(α,P(x,y,z)) = | x + 2y + 2,8z - 14 | / √(1²+2²+2,8²)

     dist(α,O(0,0,0)) = | 0 + 2·0 + 2,8·0 - 14 | / √(1²+2²+2,8²) = 14/(√(321/5) = 14·5/√(321) =  70/√(321)

     OD = (70/√(321))·n_e = (70/√(321))·5/√(321)·[1,2,2.8] = [³⁵⁰/₃₂₁,⁷⁰⁰/₃₂₁,⁹⁸⁰/₃₂₁]

..........

     (70/√(321))·5/√(321) = ³⁵⁰/₃₂₁

Det tal der forstår jeg godt hvordan du kommer frem til. Du bruger afstandsformlen. Det er det tal du skriver ind som √(321/5). Altså enhedsnormalvektoren. Eftersom 70/√(321) og 5/√(321) ikke er de samme tal, vil jeg vurdere at du ikke benytter samme formel?

     |OD| = 70/√(321)    

     vektor OD er ensrettet med planens normalvektor n = [1,2,2.8]      

     vektor OD kan udtrykkes som som sin længde 70/√(321) gange sin retningsenhedsvektor n_e

 
                OD = 70/√(321) · 5/√(321)·[1,2,2.8]