Komplekst polynomium

Da z = -2 er en rod i P(z), er polynomiet (z+2) en faktor i P(z) . Foretag nu divisionen

P(z) / (z+2) = az² + bz + c

og find de resterende rødder i det resulterende 2.-gradspolynomium. Der skal gælde

P(z) = (z+2) · (az² + bz + c)

Når -2 er rod kan du dividere polynomiet med z+2 og dermed opløse polynomiet i 2 faktorer. bruger man nulreglen får du at du skal løse en andengradsligning. Du kan bruge de sædvanlige formler til det. Reglen om at d<0 medfører ingen løsning holder dog ikke

Når jeg laver divisionen, så går det galt, da den til sidst ikke stemmer.. Nogle der ved hvorfor?

Du må have lavet en regnefejl. Kan du ikke skrive hvad du rent faktisk har gjort ?

Jo. Jeg har her skrevet alle trinene ned:

z³-4z²-2z+20 / z+2

z³+2z²

---------

-6z² - 2z +20

-6z² - 12z

-----------------

10 z + 20

og så stoppede jeg her, da jeg regnede med at få 20z, da det så ville stemme.

Dine mellemregninger ser da fint ud. Det får man jo så til, at

P(z)/(z+1) = z² - 6z+10

jo da . 10*(z+2) = 10z + 20 så den går op

Det er IKKE (z+1), men (z+2)....

#8

Det er menneskeligt at fejle!!!!!!!!!!!!!!!!

Godt du er vågen (mens jeg skrev det i søvne lol)

Åhh jaa, det mig der fumler rundt i det. Tak Peter.

#5

I stedet for at foretage polynomiers division, er det måske simplere at bestemme konstanterne a, b og c i kvotienten ved at bemærke

P(z) = z³- 4z² - 2z + 20 = (z+2) · (az² + bz + c)

                                        = az³ + (2a+b)z² + (2b+c)z +2c ,

hvoraf man aflæser følgende sæt af ligninger

a = 1
2a+b = -4
2b+c = -2
2c = 20 ,

der let løses ovenfra og ned:

a = 1
b = -4 -2a = -6
c = 20/2 = 10 ,

hvorfor

P(z) = z³- 4z² - 2z + 20 = (z+2) · (z² -6z +10)  = (z+2) · ( (z -3)² + 1 ) = (z+2) · ((z-3)² - i²)

                                         = (z+2) · (z-3 -i) · (z-3 +i)